数学建模思想在高等数学教学中的应用

摘要：

根据目前高等数学教学的现状和存在的问题，分析了教学中引入数学建模思想的作用和意义。以目前经济生活中的热点问题，买房抵押贷款问题，作为一个课堂案例，提出了融入数学建模思想的案例教学模式，并对其成效和不足进行了分析和总结。

关键词：

数学建模；案例教学；抵押贷款；利率；差分方程

中图分类号：

G4

文献标识码：A

文章编号：16723198（2015）02012302

1引言

在现代经济社会中，数学几乎渗透到了每一个领域和学科，发挥了实质性的作用。应市场需求，人才市场要求大学毕业生应当具备一定的数学应用意识和能力。因而，在高等数学教学中，培养学生的应用意识是数学课程的重要目标，我们应非常注意提高数学建模的教学。

目前，传统数学教学仍然以讲授方式为主，主要重视学生对理论知识的掌握，忽视了学生应用知识和解决问题的能力。造成这种情况的主要原因总结如下：

（1）各类数学课程内容多，教材陈旧，教学手段单一。

（2）重视教学内容、手段和方法的改革，而忽视了教学模式的改革。

（3）考核形式上以书面答卷为主，忽视了对学生学习过程和解决实际问题等能力的考查。

将数学建模思想引入到高等数学教学过程中，通过与学生专业或生活实际紧密相关的案例进行教学，不仅有利于激发学生的学习兴趣，而且有利于提高学生的数学素养，把学生培养成为满足市场需求的应用型人才。这也与当今大学教育要全面提高学生素质，培养有创新精神的复合型人才的目标想吻合。

一般地，假设不同，所使用的数学方法不同，可能会得到不同的数学模型，这些模型可能都是正确合理的。例如，我们提出的买房抵押贷款问题，可以采用迭代的方法建立模型（即我们给出的方法1），也可以利用查分方程的方法建立数学模型（即我们给出的方法2），还可以利用等比数列的方法建立其模型（即我们给出的方法3）。这正是开放式问题、发散式思维，和创造性能力的体现。我们给学生留下了极大的发挥空间，任凭学生去创造和创新，在应用过程中巩固知识，用巩固的知识解决问题。将数学建模思想引入高等数学教学，是培养应用型和创新型人才的极好方式，其作用是其他任何课堂教学无法替代的。

2课堂案例——买房抵押贷款问题

1989年，Galbraith对数学建模提出了三种教学方法：一般应用方法，构造模型方法和开放建模方法。我们提出的课堂案例属于开放建模方法，即学生结合生活常识，借助一切网络手段，运用数学知识讨论学习的方法。这种方法更加注重建模的前三个阶段。

2.1阶段1—现实问题：买房抵押贷款

市民购买首套住房，一次性付清房款的，可申请抵押贷款，贷款部分不超过房价的70%，利率高于银行存款利率。

问题：小王夫妇都是工薪阶层，每月还款能力在2500元以内，要购买50平方米的两居室住房一套，共70万元。他们自己设法筹集到34万元，另外36万元申请抵押贷款。月利息0.005，计划期限为25年。试问小王夫妇每月要还多少钱？

2.2阶段2—问题假设：等额本金和等额本息

目前，银行按揭有两种方式：等额本金和等额本息，有着不同的还贷方式和利息计算方法，适用于不同是人群。引导学生们利用网络，了解两种按揭方式及其利息和每月还款额的计算方式，分组讨论，总结出两种方式的优缺点及其使用人群，制作成表格对比分析，为小王夫妇选择一种最适合他们的按揭方式。

经过讨论分析，在选择按揭方式之后，就要针对问题变量进行分析并提出假设。我们可以设时间单位为月，设抵押贷款期限为n个月，贷款额为a0月利率为R。比如，我们选择等额本息方式，按复利计算，我们可以设每月应还款x元。或者，我们可以设yt为t月后仍欠款数额，则y0=a0元，y25=0元。方法并不唯一，学生们有着充分的开放空间设计和想象。

2.3阶段3—数学建模：数学问题公式化

一般地，假设不同，所使用的数学方法不同，可能会得到不同的数学模型，这些模型可能都是正确合理的。以下讨论我们以复杂情况下的等额本息方式为例：

2.4课堂延伸

在完成建模和求解数学问题之后，我们还可以数值对比两种按揭方式的具体还款金额和所付利息，并且结合当下的提前还款、额外还款、双速还款和缩短年限等业务，帮助小李夫妇合理配置资金，组合出一套最符合实际，又最经济实惠的理财贷款计划。

同时，我们还可以鼓励学生们利用计算机编程语言，依据我们的数学模型，编写出一套方便又使用的计算机程序软件，帮助人们能够快速准确地计算出每月还款金额，并可以像理财专家一样配置出符合自己的一套理财贷款计划。

3案例启示

数学绝不仅仅只是学习知识，不是教条式地背诵公式和定理。学习数学更多的应该是感受一种理性严谨的思维方式和思考方法，所以在知识之上，我们更应该关注思。学的最终目的是要会用，用数学思考方法，用数学解决问题，同时还要辅助计算机等一切可以借助的信息工具，在原有的基础上发现和创新。我认为这才是学习数学的目的，而这一切都被巧妙得渗透在数学建模的整个过程中。所以，将数学建模思想渗透在高等数学教学中，是我们传统数学教育亟待革新的转折点。

在教学过程的各个阶段中，学生始终是自由发挥的主角，而老师的角色只是引导，提供机会给学生学习以及通过建模让学生学习思考。学生们通过大量的信息搜索和观察应用，可以取得自信和学到数学建模的技巧，找到学习数学和专业延伸的兴趣，体会到创新和创造的满足感和成就感。从我们选取的课堂案例不难看出，数学建模案例更加贴近学生们的生活，情境直观逼真，利于激发学生们的生活经验，真实地解决实际问题。知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，从而也应当在高等数学的教学中得到充分体现。

参考文献

[1]李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段[J].数学通报，2005，（10）：2123.

[2]王尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课堂的重要目标[J].数学教育学报，2002，（2）：4345.

[3]Galbraith，P.，Houston，K.，Jensen，T.，Kaiser，G.，Tan，YJ.Mathematical Modeling in education and culture[M].ICTMA 10. Chiechester：Harwood Publish，2003：307330.

[4]Allan White.Modeling and the General Mathematics Syllabus[J].Mathematics New HC，2002：712.

[5]吴传生.经济数学：微积分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]刘应辉.经济应用数学：上册[M].北京：高等教育出版社，1991.