《代微积拾级》中的传统分析学思想

摘要：基于李善兰和伟烈亚力合译《代微积拾级》中的主要内容分析研究，通过对其西方微积分原理与中国传统微积分思想的对比，结果得出译著《代微积拾级》中的数学思想、语言系统、符号系统、逻辑推理等都来自于中国传统数学。通过相关内容的比较和分析为研究19世纪末中西数学传播史和中国传统微积分思想史提供文献支持。采用原始文献考证和分析的方法，结论得出西方微积分知识在我国传播是在中国传统微积分思想的影响下进行的一次中西数学分析交流，并且对我国分析数学的西化有一定的影响和科学传播史意义。

关键词：

李善兰（1811—1882）；伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—1887）；《代微积拾级》；微分；积分；传统数学思想

中图分类号：O11；N09

文献标识码： A

1859年，李善兰（1811—1882）和伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—1887）合作翻译的我国第一本西方微积分著作《代微积拾级》（简称《拾级》）在上海墨海书馆顺利刊行[1]。《拾级》的翻译出版开启了西方微积分理论在我国的传播，同时与我国传统微积分思想相互影响着。数学分析强调的是一种理论基础，西方分析学的传入使得中国传统数学从应用开始转向理论分析上的基础分析研究。翻译《拾级》的底本为美国著名数学家、数学教育家爱里亚斯·罗密士（Elias Loomis， 1811—1889）所著的《解析几何与微积分基础》（Elements of analytical geometry and differential and integral calculus） [2]。二人翻译《基础》是西方分析学传入我国的开端，《拾级》是中西数学交流的典范[3]。

关于李善兰和伟烈亚力翻译的西方微积分著作《拾级》已经有相关的论述和研究[3-12]。其中有对底本的介绍[4]；有对《拾级》对日本数学的影响[5]；有对这一历史事件的介绍[6]；有对其中某一命题的解释[7]；有对其文献版本的解读[8]；有对其主要内容的研究等[9]。现从《拾级》中西方微积分理论中所蕴含的中国传统微积分思想，以及《拾级》对晚清传统数学的发展和吸收西方系统化数学都有着一定的影响。中国传统微积分思想均是来自于其实际应用，其目的就是为了解决生活和生产中的求和问题。当然关于求和问题的研究中有一些纯粹数学，就是数学家提出的为了数学而数学的需要[10]。对这一时期的西方微积分学的传入和中国分析学的西化历史研究是有著一定的历史意义，通过这样的研究才能真正理解传统分析数学和西方分析数学之间的区别和联系及其他们相互影响的历史原因。当代数学大师丘成桐先生认为清末西方数学传入我国的历史过程中，最为重要的就是李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》和《代微积拾级》，并且其中传入的分析数学最重要的就是译著《拾级》，特别指出了《拾级》是引进了西方系统化的逻辑演绎体系[11]。因此，对这一时期西方分析学的传入的历史的探讨是有一定的必要性。

1《拾级》中的微积分内容

李善兰和伟烈亚力合译《拾级》的主要内容分别为解析几何、微分学和积分学等内容。其中微积分理论是西方分析学第一次传入我国。《拾级》共有18卷，第1～9卷是代数几何，介绍解析几何。第10～16卷是微分学，介绍微分理论。第17～18卷是积分学，介绍积分理论。现以微积分为研究对象，研究其中的传统数学思想。

在《拾级》的序言中给出了微积分历史论述，《拾级》有两个序言，一个是李善兰的自序，另一个是伟烈亚力所作的序言[1]。李善兰在序言中介绍了中国传统数学，特别是其中四元术与代数的异同，特别论述了微积分发展史，传统微积分思想及其微积分求解的方法，微积分的数学应用，最后对罗密士及其《拾级》一书的结构评价[12]。李善兰在序言中谈到“中法之四元即西法之代数也，诸元诸乘方互乘积，四元别以位次代数别以记号法，虽殊理无异也。康熙朝，西国来本之、奈端二家又创立微分积分二术，其法亦借经于代数，而其理实发于古未有之奇秘。代数以甲乙丙丁诸元代已知数，以天地人物之诸元代未知数；微分积分以甲乙丙丁之诸元代常数，以天地人物代之诸元代变数。理之大要，凡线面体，均设为由小渐大一刹那中之，所增之积即微分也，其全积即乃积分也。故积分逐层分之为无数微分，乃合无数微分仍为积分也。[1]”李善兰对中外微积分思想做出了一个简洁明了的概括，从古典的微积分思想到莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646—1716）和牛顿（Isaac Newton， 1642—1727）的微积分理论，通过历史分析对传统微积分思想的最后目的作出了解释。并且，还说明了其翻译《拾级》的结构与西方不一样的原因和具体做法，用传统的符号系统来表示微积分理论。李善兰给定了翻译全书的8个规定和相关说明，故而《拾级》的翻译遵循着8个规定和说明，这样读者就能理解《拾级》的相关理论[9]。其实，这就是李善兰翻译《拾级》的一种符合系统的说明和规定。另一个是伟烈亚力所作的序言，伟烈亚力同样对西方微积分发展史做出了论述。同时，对中国数学史也有所评价，伟烈亚力指出微积分学说是西方人发明的，这一定毫无争议，但是他也指出微积分思想在中国古代数学著作中不乏出现，但是其不用代数式，即没有代数符合系统，其代数的书写模式繁杂，故没有形成系统的学说[13]。列举了一些数学家及其著作中出现的微积分思想，其中特别是李善兰的著作及其微积分思想[9]。伟烈亚力对李善兰的微积分理论和极限思想进行了高度的赞誉。

1.1《拾级》中的微分理论

微分学理论， 人类有着较早的微分学思想史。古希腊时期就有用极限的方法来定义微分，到了17世纪，人类对该理论的认识也有很大的突破。其中费马（Fermat，1601—1665）给出了计算函数的极大值和极小值的方法和步骤，这实际上已相当于微分学中所用的导数思想和方法，即就是设函数导数为零的点，然后通过求出函数极点的方法。巴罗（Isaac Barrow，1630—1677）亦懂得古典的微分思想，其通过所谓的“特征三角形”，其中以dx、dy、ds为边的三角形来求出切线的方程，这方法与微分学中利用导数来求切线的方法是一致的[9]。显然，人类早在17世纪已经掌握了微分的基本思想。只不过最后是由牛顿和莱布尼茨给出了微分的准确定义。中国传统数学中的李善兰在其传统数学著作《方圆阐幽》中就有无限微分的思想[9]。

第10～16卷为微分学。主要介绍微分学的基本概念和微分运算法则，主要内容涉及有常数、变数、函数、隐函数、显函数、减函数、增函数、极限、微分等相关概念，导数称为微系数。给出导数定义，并给出一些函数的导数及其微分公式。也给出了微分公式及其运算后，最后还给出了微分的应用。其中第10～13卷主要论述微分概念和应用。第10卷论微分，其中共14款。李善兰首先分别给出了函数的西方定义和中国传统数学意义下的函数概念。给函数定义进行了分析学描述“设有不明显天

之函数，指地为天之因变数，则有如下式：天=函（地），地=函（天），此天为地之函数也，亦地为天之函数。凡函数中有两变数，则天外作括弧，亦可上记函字于左，如戌=甲地┴乙天二，作戌=函（天地），则此式戌为天地之函数，而指戌为天地之因变数。[1]”给出了极限的中西描述和定义，通过从函数到极限的相关概念给函数的微分进行了定义，即有“微分之理，乃详明函数及自变数，两变比例相与之比例。[1]”在微分理论中，李善兰给出了简单的幂函数的微分求法，给出了从x3的微分公式：

彳天∶彳戌∶∶一∶三天二，运算得彳戌=三天二彳天，写成商的形式彳戌彳天=三天二。从x2，x3，x4等简单幂函数的微分公式推广到一般的微分公式。从而得到一般求微分的运算方法，并且在此基础上给出微分的四则运算和全微分。第11卷主要论高阶导数，共3款。给出了高阶导数的定义，从高阶导数出发来介绍数学家麦克劳林（Colin Aclaurin，1698—1746）和泰勒（Brook Taylor，1685—1731）名字命名的级数以及偏微分和全微分。特别是其中对于二元函数F（x+y）的泰勒展开如如下表达式：

函（天┴地）=戌┴（彳天彳戌）地┴（彳天二彳二戌）一×二地二┴（彳天三彳三戌）一×二×三地三┴…

第12卷主要论极大值和极小值求法，属于一阶导数的应用问题，共1款。首先从导数的几何意义出发，来论述极大值和极小值。在这过程中，指出导数为0的点可能是极值点，并用一阶导数和二阶导数来判断，即就是我们所说的导数判别法。最后，还给出了泰勒公式判断极值的方法。第13卷主要论初等超越函数和初等函数的微分及其计算，共10款。给出了指数函数、对数函数、余弦函数、正弦函数、余切函数、正切函数、复合函数和反三角函数等诸函数的微分公式，给出了与之相关的函数运算的微分结果。第14～16卷主要论述微分在物理和几何学上的应用问题。第14卷论述了用微分推曲线四法、论极曲线的切线、次切线、论曲线及其曲线的面积和曲线的体积诸微分、论极曲线及其面積之微分计算、论曲线的渐近线表示及其在极坐标系下的应用问题，共13款。还给出了相关的公式和在极坐标下的对应微分计算公式。包括了切线、次切线、法线、次法线、弧长微分、曲面、旋转曲面的面积微分、旋转体的体积微分、以及曲线的渐近线问题。第15卷讨论了曲率、曲率半径和渐曲线。共5款。主要讨论了曲率的表示和曲率的几何意义。第16卷论曲线的凹凸性和奇异点，共9款。给出了曲线上一点的切线与横轴平行或者垂直时曲线与函数微分之间的关系，随后讨论了函数图象的凹凸性与二阶微分之间的关系，最后还讨论了曲线上各种点的几何性质，并且说明了重点、拐点、孤立点和歧点与导数之间的关系[9]。本卷还有一个重要的内容就是用导数的方法来研究函数图象特征。李善兰指出通过导数这个工具可以解决很多实际问题，不管是在几何学上，还是在实际应用问题中都可以用导数来解决相关问题。《拾级》中的这种系统化的成套理论提高了李善兰传统数学理论水平。

1.2《拾级》中的积分理论

第17～18卷为积分学。第17卷主要介绍不定积分的概念和性质，幂函数等基本初等函数的积分法，多项式函数等初等函数的积分法。介绍了定积分的概念和性质，级数展开和积分近似计算，共14款。给出了不定积分的定义，原函数加上一个任意的常数，即全体原函数为积分。其中没有给出不定积分的称谓，统一用积分来表示。指出了积分符号 ∫是莱布尼茨所创造，同时也说明了莱布尼茨为什么用此记号。重点是介绍了积分的四则运算性质，各种初等函数的积分公式，各种函数的积分法。还给出了牛顿—莱布尼茨公式，随后介绍了级数积分法，即用级数展开式去求函数之积分[9]。李善兰在还给出了《基础》中的习题正确的答案。给出了一些相当负责计算的结果。

第18卷主要讨论了求曲线长、旋转曲面的面积、面积和体积和旋转体的体积，本卷没有分款。《拾级》开篇论述到“用积分术令曲线改直线之理、求曲线面积、求曲面的面积和求曲线体积。[1]”，主要是应用积分理论解决实际应用问题。其中主要解决曲线长，曲线构成的平面面积，曲面积及曲面旋转构成的旋转体体积等几何问题。本卷没有进行分款，一共有四个部分，分别给出了曲线长公式，曲面面积公式，旋转曲面公式，旋转体的体积公式等。在18卷开局给出了“由曲线改直线之理”可以看出李善兰对积分的理解的极限思想[9]。相应的给出曲线长公式，人=禾彳天二┴彳地二，曲线面积公式，申=禾地彳天，旋转曲面面积公式，申=禾二周地彳天二┴彳地二，给出了旋转体体积公式，亥=禾周地二彳天。

《拾级》中的微分和积分内容都是一些微积分的基本理论、基本算法和基本公式。特别是其中的符号表示方法还是中国传统数学中的符号表示系统，其中的逻辑推理也是来自于中国传统数学中经典数学著作之中，语言模式还是采用了传统的数学语言模式，更特别值得说明的是其数学思想完全来自于中国传统数学。

2《拾级》中的传统分析学思想

李善兰和伟烈亚力合作翻译的《拾级》中，在序言部分就从中西方的微积拾思想史的角度出发，进行了详细的论述。《拾级》翻译出版时，西方微积分理论已经基本上成熟和完善了。《拾级》开篇序言就对中西微积分理论之历史进行了叙述，李善兰和伟烈亚力分别给出了评价，特别是伟烈亚力的评价非常到位，其认为微积分理论是西方人发明，中算家在微积分理论方面取得了一定的成果，其他特别是李善兰在微积分理论上有较高的成就。伟烈亚力还指出了中算家为什么没有创造微积分理论，指出其运用在与中算重视算法倾向，而且没有系统化和符号化的数学系统。李善兰也给出了恰当的评价，认为微积分理论是西人发明，但是中国传统数学中已经有了微积分理论体系及其思想。现寻找《拾级》中的传统微积分思想，来厘清《拾级》是在传统微积分思想下的产物。首先微分和积分的概念是李善兰和伟烈亚力从原著中的Differential和Integral两词翻译而来的，然二人为何翻译为微分和积分是有一定的原因的。要知道其原因，则必须清楚微分和积分概念的历史来源。

2.1《拾级》中传统微积分思想的来源

关于微分和积分历史的论述，《拾级》在其序言中指出了微分和积分这两个概念有着很早的历史，特别是刘徽在其《九章算术注》就使用了“微分”一词。刘徽在《九章算术》方田圆田术中用估值法求圆面积中论述到“当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而载起微分，数亦宜然，重其验耳。[14]”其中微分一词是指圆内接3072边形的面积的奇零部分，即就是非常微小的分数，趋于0的一个很小的分数。刘徽在《九章算术注》中多次使用“微分”中的“微”字，其涵义就是无限小的量[14]。《九章算术》商功章阳马术注证明过程中刘徽给出了著名的刘徽体积原理及其证明过程中使用了“微”字。刘徽首先将阳马与鳖腝拼接成为堑堵进行分割，得出其中的34中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1。继续分割，得出剩下的14的34中阳马与鳖腝的体积之比为2∶1。刘徽指出“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。[14]”其实，刘徽表达了一种思想，就是平分的部分越小，那么剩余的部分就越细[14]。刘徽的思想是受到了中国传统数学中经典极限思想的影响下发展出来的，特别是《庄子》和《淮南子》对其的影响甚深。《庄子·秋水》中河伯曰“至精无形”和北海若曰“夫精粗者，期于有形者也；而无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也。[15]”《淮南子·要略》中有“至微之论之无形也。”刘徽的这种“微则无形”的无限思想与卷一圆田术刘徽注重的割圆术的思想本质是一致的。刘徽认为“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失也。”这一思想是很经典的无穷小分割思想[15]。刘徽在《九章算术》少广章开立方术注中指出“术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。[14]”显然，这里的“微数”就是微小到不可计的程度之数，刘徽求微数的过程就是一个极限求解过程。这里的微数指的是一种变化，是变小到不可计的数，也就是无穷小的意思[16]。

《九章算术》及其刘徽注都用了“积分”的概念和术语，而且“积分”出现的地方比“微分”多。积分概念主要出现在长度、面积、体积和分数运算等方面。关于长度中的积分概念，《算数书》和《九章算术》中的少广术中都使用了“积分”的概念。《算数书》中有“下有若干步，以一为若干，以半为若干，以三分为若干，积分以尽所求分同之以为法，即耤直田二百四十步亦以一为若干，以为积步，除积步如法得从一步，不盈步者，以法命其分也。”和《九章算术》中有“置所求之步数，以全步积分乘只乃为实。实如法而一，得从步。”这里的积分都是長度的分之积[17]。关于开方中分积分和面积中的积步与积里，首先考究积分。《九章算术》中的开方问题没有积分的概念，但刘徽在关于开方问题的注释中用到了积分的概念，而且有两处明确使用“积分”以术语。刘徽在《九章算术》少广章开方术中论述到“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡有开积为方，方之自乘当还复起积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。”即在刘徽以前，为求根，用a+A-a22a+1作为近似值计算，也用a+A-a22a

近似代替。刘徽认为误差太大，刘徽指出一个数开平方后，其根自乘应该等于这个数原来的本身[15]。如果是一个分数来表示根，那么分数自乘应该是原数的积分。从几何上来看，面积就是分数自乘的积分。然而，a+A-a22a+12≠A，结果是a+A-a22a+1微少，a+A-a22a微多，即就是a+A-a22a+1

13为分数单位之积分。（L1L2+L12+L22）h是3个以上圆亭L1，L2分别为上、下底边长的大方亭的以13为分数单位之积分。《九章算术》少广张开立圆术出现了“积尺”概念，其中论述到“开立方圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得之，开立方除之，乃立圆径也。[14]”积尺概念在《九章算术》的商功章及其刘徽注中出现较多，这些积尺全都是立方积尺，就是立方尺的累积。中国传统数学中在分数除法中也用到了积分概念。在《九章算术》方田章经分术就是分数的除法法则，其非现倒数相乘之法，而是一种先将除数与被除数通分，让二者的分子相除。即两个分数ab，cd，除法运算可表述为ab÷cd=adbd÷bcbd=ad÷bc=adbc，刘徽在注中论证了其正确性，并且指出用分母乘整数部分，其实就是将整数部分分散成以公分母分之一为分数单位的累加，故而称之为“积分”。中国传统数学中的求和思想就是一种叠加与求和思想，并且用了“积分”概念来表示。故而，积分思想是中无限分割求和的数学思想。

2.2李善兰的微积分思想

李善兰的微积分思想是继承和发展了中国传统数学中的微积分思想[16]。李善兰在《拾级》的序言中给出了说明“凡线、面、体皆设为由小渐大，则一刹那中所增之積乃为微分也。故积分逐层分之为无数微分，合无数微分仍为积分。[1]”伟烈亚力认为“微分不过求变几何最小变率之较耳。积分者，合无数微分之积也。[1]”李善兰认为积分的基本思想就是求和，是将所求量分割成若干细小的微元，找到某种代数关系后，再把这些细小的部分计算累加，最后求出未知量的和。这个过程中最重要的就是积累，积分的定义就是累加过程中求极限的过程。微分则是一刹那的增加量，即为]x，当Δx→0时，Δx可以有dx表示，则dx就是自变量的无穷小增量[17]。中国传统数学中的“微分”、“微数”都是微小的数，微小的奇零部分，也就是微小的分数，其与微积分学中的“微分”还是有所不同，但是从极限来看，其本质是相同的。刘徽的“微则无形”，就是一种无穷小的思想，与现代意义下的微分涵义相同。《九章算术》及其刘徽注中给出的“积分”、“积里”、“积步”、“积尺”等概念分别是具有更小的分数单位的分数之累加，尺或立方尺的累加，平方步的累加，它们与微积分学中的“积分”概念有所不同，但是其本质是相同的，只是有低级和高级的差别。[18-19]西方微积分中积分是Integral，在西方语言中就有“整个”、“整体”的含义。李善兰恰到好处地将Differential和Integral分别表述为“微分”和“积分”是来源于李善兰对中国传统数学极深的造诣，特别是他在微积分理论方面的深入研究。李善兰对微积分理论的深入研究主要是在其传统数学《方圆阐幽》中给出了一种名为“尖锥术”的确定面积或体积的普遍算法，这种方法可以用来解决诸如对数计算、级数展开之类的重要问题[17]。李善兰的积分思想主要体现在《方圆阐幽》中的十条“当知”中。这十条实际上就是给出了一些公式，其中给出幂函数的积分公式：

∫0hKxndx=Khn+1n+1

李善兰利用其发明的尖锥术，从无限分割求和的思想出发，得到了一些组合公式[18]，并且在这些基础上最后还给出了公式：

V=∫0h（ah）pxpdx=aphp+1，

∑∞p=1∫0h（aph）pxpdx=∫0h∑∞p=1（aph）pxpdx

3结语

《拾级》中的中国传统数学思想表现在几个方面。在语言系统方面，李善兰采用了传统的语言表达模式，并且创立了许多新的名词术语，有的是采用传统术语并将其涵义进行了扩充。在符号表示方面，李善兰采用了传统的符号表示系统，但是有一小部分也是直接采用了西方的符号代数表示。在数学的逻辑推理方面，也是采用了传统的数学逻辑推理，尽量与生活和生产联系起来。在数学思想方面，则是可以追溯到中国传统数学中较早的历史中的数学思想。李善兰的微积分思想与西方经典微积分思想在形式上有着一定的区别。李善兰得到的幂函数积分公式是利用尖锥术的方法而得到，李善兰通过尖锥术求得的这些结果相当于现在的一些基本的微积分公式。19世纪末，以李善兰为代表中国传统数学家在这方面的工作与这一步相当。李善兰在其传统数学著作中的微积分思想及其得出的微积分公式是没有受到西方微积分理论的影响下独立得到的。李善兰与伟烈亚力合译《拾级》却受到了中国传统数学文化的影响。特别是在语言系统、符号表示、逻辑推理和数学思想等方面深深地受到中国传统数学的影响。

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（责任编辑：曾晶）