史宁中：学科核心素养的培养与教学
学科核心素养的培养与教学
—以数学学科核心素养的培养为例
史宁中
【说明】原文选自《中小学管理》2017年第1期。
摘要：学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培育上。数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型，也就是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。应将数学核心素养的培养贯串于数学教学活动中，并且在教学评价中体现对学科素养的关注。
关键词：核心素养；学科核心素养；数学核心素养；数学抽象；逻辑推理；数学模型
核心素养的培养，在本质上与以人为本或以学生发展为本的理念是一致的。为了便于理解，我们可以将核心素养抽象为这样几句话：核心素养是后天习得的、与特定情境有关的，而不是随时随地都可以表达出来的东西；是通过人的行为表现出来的，因此是可监测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人与自己、人与工具三个方面，最终要落实在人即受教育者身上。如何进行学生核心素养的培养？我想，最终还是要落在学科核心素养的培育上。我们以数学学科为例来探讨这个问题。数学核心素养包括哪些内容？如何在小学数学教学中培养学生的核心素养？
一、学科核心素养培养对学科教学提出新要求
1.什么是数学核心素养？
高中数学课程标准将高中阶段的数学核心素养定义为：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。那么，设定数学核心素养的标准又是什么呢？我们可以这样认为，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数
学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。所谓数学的眼光，本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学的思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，主要是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性。基于此，我们将高中阶段的数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析六方面。虽然义务教育阶段的数学核心素养现在还没有开始正式讨论，但也离不开义务教育数学课程标准中提到的八个核心词：数感、符号意识、推理能力、模型思想、几何直观、空间想象、运算能力、数据分析观念。我们可以这样理解，数学抽象在义务教育阶段主要表现为符号意识和数感，推理能力即逻辑推理，模型思想即数学模型，直观想象在义务教育阶段体现的就是几何直观和空间想象。还有三个超出数学范畴的一般素养，义务教育阶段强调的是应用意识和创新意识，高中阶段则增加了学会学习。
在终极目标下，我们的数学教学活动应当秉承这样的基本理念：把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
2.培养学科核心素养对教师教学提出挑战
教师要在学科教学中帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养。形成学科核心素养是终极目标，在本质上，这样的目标不是教师短时间“教”出来的，而是学生领悟出来的，是长期经验的积累，是在一个过程中慢慢形成的。这就需要把常态教学与核心素养的培养结合在一起，老师们在备课时可以将核心素养的要求呈现出来。比如：在教学目标中，教师在设想过程性目标时，不仅要说“经历什么”“探究什么”，还应该明确“得到什么”，比如说，形成“几何直观”素养。与此同时，教师备课不能仅局限于某一堂课，而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考通过这些课程让学生掌握什么样的知识和能力，培养什么素养，然后再考虑每堂课怎样体现。
二、如何将学科核心素养培养贯串于教学中
如何将数学核心素养的培养落实在小学数学教学中？我认为，可从以下三方面着手。
1.数学抽象：让学生学会“用数学的眼睛看”
义务教育数学课程标准中提到的核心词，如符号意识、数感，甚至几何直观和空间想象，都可以归到数学抽象这个素养中。所谓数学抽象，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者术语予以表征。简而言之，抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。
小学阶段通过抽象得到的是基本概念，还包括关系和法则。抽象的方法有两种：对应和内涵。对应的方法就是给研究对象起个名字，内涵的方法就是给研究对象明确定义。我建议老师们在一、二年级的教学中采用对应的方法，重在让学生感悟；以后可以逐渐采用内涵的方法，重在让学生理解。比如：启发学生理解“数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？”时，在让学生理解基本概念、关系和规律的同时，教师一定要知道这些内容涉及“符号意识”和“数感”这两个核心素养。在教学过程中，教师一定要让学生感知“数”是一种符号表达，是对数量的抽象，我们可以用对应的方法，从“两匹马”“两头牛”对应到两个小方块，然后再让两个小方块对应符号“2”。仅仅抽象出概念并不是最重要的，更重要的是要抽象出概念之间的关系。数量关系的本质是多和少，因此对应数的关系的本质就是大和小。抽象的核心是舍去现实背景。“数感”是对数的感悟，其核心是回归现实背景，让学生知道数在不同场合的使用。比如：对于“100”这个数字，我们可以带100元钱去超市，但不可以带100元钱去买房子。
数学是通过抽象得到一般结论。但是，抽象的东西不是具体的存在，而是抽象的存在。比如：现实中没有抽象的“2”，只有具体的“两匹马”“两头牛”。什么是抽象的存在？我们看到了苹果，看到了足球，感觉到一个圆，离开了苹果和足球，脑子里还有一个圆，基
于这样的存在我们能在黑板上画出一个圆，这样的存在就是抽象的存在。如同郑板桥所说：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。老师在课堂上教的不是他在黑板上画出来的、具体的圆，而是一般的、抽象的圆。
2.逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想”
义务教育数学课程标准的核心词还提到运算能力和推理能力，这都属于逻辑推理。数学内部的发展依赖的就是逻辑推理。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。它主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。演绎推理是从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立，只能用来验证知识，不能用来发现新的知识。而归纳推理是通过条件预测结果、通过结果探究成因的推理，其结果是或然成立的，用于发现知识。我们之前的教育，更多的是培养学生的演绎推理能力，缺少归纳推理能力的培养，这对培养创新型人才是不利的。在数学教学中，教师可以引导学生通过归纳推理探究成因，比如：探究计算方法规定的缘由。在混合运算中，为什么要先乘除后加减？对于“32×6=312=18”这样的算式，可以举例说明：“操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。问现在操场上有多少名同学？”其计算的缘由可以理解为：现在同学数=原来同学数
后来同学数=32×6，因此可以得到先乘除后加减的结论。教师可以让学生感悟，混合运算是讲两个或者两个以上的故事，先乘除后加减的规定就是一个故事、一个故事地计算。教师要在引导学生逻辑推理的过程中，逐渐帮助他们建立数学的思维模式，这就是会用数学的思维想。在教学中，如果学生讨论不清楚或者教师讲不明白，那就举例说明。一个好老师的头脑中应该有很多例子，甚至能随时根据需要想出一些例子来。但所有的应用题必须是在生活中能够发生的，不能硬编。
3.数学模型：让学生学会“用数学的语言说”
义务教育数学课程标准的核心词还有模型思想、数据分析观念等，这都是数学模型素养。数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学
语言表达问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题的过程。也就是说，数学模型是用数学语言讲述现实世界的故事，是沟通数学与现实世界的桥梁。因此数学模型是一个核心素养。在现代社会，数学的真正应用是模型，模型已经成为一种语言应用于物理、化学这些学科，甚至应用于社会科学和人文学科，数学模型引发的数学特征就是数学应用的广泛性。义务教育数学课程标准中主要提到两个模型，一个是加法模型，一个是乘法模型，或者转化成现实问题，一个是总量模型，一个是路程模型。数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，因此，教师在数学教学活动中培养学生数学模型核心素养，能够帮助学生感悟数学与现实之间的关联，使其加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识。
三、如何在教学评价中考查学科核心素养
在基于核心素养的学科教学中，评价与考核很重要，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。在近些年实施的基础教育质量监测中，我们在数学领域的监测标准中提出的三个原则，基本体现了对学生数学核心素养培育的关注。
1.不强调计算速度：重思考深度、轻技巧训练
我认为，小学数学过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因。我们在后来的基础教育质量监测中，尝试减少题量或者是延长测试时间。素养培养是慢功夫。学校不能动辄考核教师，否则只会导致教师也要求学生拼命练习，通过反复做题训练速度，培养应试技巧。数学学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。
2.监测内容要指向学科核心素养：关注学生的思维品质
以前的测试主要考查学生对知识点了解、理解、掌握的程度，在基础教育质量监测中，我们要求监测内容中要蕴含数学素养，比如：考查学生对概念的理解，以及学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象力等，尤其是要关注学生的思维品质，考查学生的思维能力。有这样一道题目。五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名同学上场。五年一班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），这两名同学的平均分差不多，你建议让哪位同学上场比赛？理由是什么？学生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因为乙的成绩比较稳定；但是郊区有一些孩子生活经验丰富，认为得看赛完九次之后的成绩，如果五年一班输了，那就可以让甲参加比赛，因为甲的成绩跳跃比较大，冲一冲没准这次就赢了。这时候我们发现，学生的思维能力是与生活阅历有关的。
3.采用满意原则：考查学生的思维过程
我们可以通过开放题来考查学生的思维过程，开放题应当采用加分原则。我曾经给小学四年级出过这样一道题：有两个居民区，中间有一条道路连接，现在要在路边建一个超市，你建议建在哪里？为什么？大部分学生答应该建在中间位置，因为大家走得一样远，这样的回答有道理，可得满分；有的学生答要看居民区人的多少，应该离人多的居民区近一点，这样的回答更好了，可以多加两分；还有的学生答需调查哪个居民区去超市的人多，按比例来建，这样的回答可以再多加两分。只要学生答得更好，就可以给他加分。在这样的测试中，我们不能仅仅通过结果判断学生答案的对和错，重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑；只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就应该满意，这就是“满意原则”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于开放题的答案是不确定的，这就对我们的老师提出了更高的要求，教师不仅要能出题，还要有判断思维是否有逻辑的能力。因此，教师在日常教学中要教会学生们思考问题，让学生在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学核心素养。
史宁中教授解读《数学课程标准》的“目标”及“核心词”
专家介绍：
史宁中教授
现任东北师范大学校长，教授，博士生导师。任国家基础教育中心主任，课程标准负责人。第十届全国人大代表，国务院学科评议组成员，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，第二届高等学校理科数学与力学指导委员会概率论与数理统计教学指导组召集人，吉林省第九、十届人大代表等职。2003年被评为全国留学回国人员先进个人。荣获2000、2002年度长春市“五一”劳动模范奖章。
张丹：在新课程标准修订中，一个非常重要的是把过去的双基也就是基础知识和基本技能变成了四基，就是增加了基本数学思想和基本的数学活动经验。为什么要增加这后两基，它的价值在什么地方？
史宁中：中国传统的数学教育或者说是整个基础教育特点是双基，就是基础知识和基本技能，通常人们是这样说的，基础知识扎实，基本技能熟练。基础知识指概念的记忆和命题的理解。基本技能主要是指作题的技能和证明的技能，因此我们过去的这些教育对知识本身的掌握应该是没问题的，而且做得很好，那还缺少什么呢？缺少就是现在国家希望培养的人才，就是创新型人才。我们想一下，一个创新型人才除了知识之外，还需要一些什么东西呢？我想主要是思维形式和思维方法，他想
问题会不会创新性的想，当然还有一个创新意识问题。这些东西必须通过本人参与的活动才能够学得会，老师教是教不会的。我们先不说创新型人才在第一个层次来讲，比如说智慧，你说一个人很聪明，他有智慧，表现在什么地方呢？表现在别人做不了的时候，他能想办法解决了，他就有智慧，他就聪明，比如在解题过程中，甚至在玩的过程中，他有一个方案，或者在做实验的过程中他有一个技巧，这些表现的是智慧，因此这些东西是表现在过程之中的，而过程之中的东西只能通过过程培养，通过语言的阐述是不可能培养出来的，怎么思考问题，怎么教也不行，他得自己去想一些问题，他才可能想明白。因此在这个意义上，没有基本的活动经验是不行的，基本活动经验就是教我们的孩子如何思考问题，最终要培养这个学科的思维方法，更高的就是培养学科的直观。因为对于数学来说，所有的结果是看出来的，而不是证出来的，而如何会看结果，完全是凭借经验，凭借思维形式和思维方法，所以现在在双基基础上变为四基的本质是想培养学生的思维形式和思维方法，培养学生的智慧和创造力。
张丹：我是不是可以这样理解，一个创造型人才，或者创新人才，实际上是两方面，一方面需要具备知识和技能，但更重要的是得有直观，像您说的直观，有一些思维方法，而这个离不开我们的活动。
史老师：你说得非常对。一个创新型人才，简约的说，还有很多条件。大概是需要知识和思维，这两个都是需要的，当还有创新的意识，创新的条件，那是额外的。
张丹：就是对新增加的数学的基本思想和数学活动经验，我觉得在小
学可能非常重要的就是数学活动经验，您能具体的阐述一下数学活动经验，到底什么是数学活动经验。
史老师：就是老师创造一些背景，从头彻尾的让孩子思考问题，从开始思考问题，这是很重要的。因为以后要创造的话，开始阶段就得能够思考，要不然中途没有人提示，是没有办法中途思考的。比如在小学阶段这个问题是稍微难一点的，但是也是能够做的，我举例来说一下，如果想在课堂上完成这样的教学，比如一个题目就是识别正方形，识别正方形有很多办法，第一个可以用眼睛看，但是眼睛看经常会出现错误，老师可以举出很多例子，横竖的例子，大家都知道，看竖的比横的要长一些。
张丹：小学差不多在1、2年级有这个情况，就是你把正方形这么摆他能认出来，如果旋转45度很多孩子认为它不是正方形。
史老师：所以光靠眼睛看是不够的，那最好的方法就是量一量，量四个边相等就是。你也可以让学生尝试，但是如果尺的话，特别是没有刻度的尺，现在中学义务教育阶段尺规作图尺是没有刻度的，没有刻度的尺怎么办呢？这样的题给学生提问题了，学生可以把正方形对折，但是对折得到的不一定是正方形，对折得到的可能是长方形，那怎么办，还得斜过来折。所以这样的时候，老师不要告诉学生怎么做，老师是启发让学生来做，我认为这个就是重要的。
比如还有角，比较两个角的大小，你用量角器当然可以，不用量角器怎么办，挪一下比，当然可以了，还不让挪过来比，那学生就拿圆规画一下，然后再量画轨迹之间的长度来判断角的大小，这样的思维我认为
才是有必要的，我认为这个是在课堂上能完成的教学活动经验，就是培养孩子如何去想。这里有一个很重要的问题，我现在在教学中发现有些老师有一些问题，他组织学生活动，组织学生很好之后，他判断学生说得对和错，还是看结果，这个教育在本质上还是结果的教育，不是过程，他应该更多的判断学生思考的过程，是不是有道理，我一再强调，要培养思维方法，这个是很重要的。但是更多的活动可能是超出一堂课的活动，也可以。
比如这回在课标里举的上学的问题，上学的时间问题。上学的时间问题，老师不教孩子懂得这些道理很重要，首先要把家里的表和学校的表对齐这样的一些思维很重要的东西，就是在我考虑问题的先决条件如何，这是很重要的问题，然后把上课一个礼拜的上课时间拿来，有一些数据，在这些数据里面你能得到什么结果，老师要启发孩子，但是一定要孩子得到一些结果。比如最多我需要多长时间，最少需要多长时间，或者平均需要多长时间，让孩子们在数据中能够得到日常生活中的很多信息，这样也是一种思维形式和思维的方法，这样的课在小学阶段，我非常知道我们的老师们很有创造力，有了一些想法之后，可以能够创造出很多教学情景，完成这样的教学。
张丹：听了您这段话，我觉得对经验可能跟原来认识又不一样了，原来经验可能更多讲的是学生经历一点事情，这是重要的，但是现在我觉得经验非常重要的是思考。
史老师：你可千万别是解题的经验、理解的经验。
张丹：特别是你提到思考有这么几个，一个是从头开始思考，所以课
标在原来的分析问题和解决问题的基础上特别明确提出要发现问题和提出问题。
史老师：这是很重要的。一个所有创造，连问题都发现不了创造什么呢，所以这个要从小培养，经验的积累是日积月累的，不见效，见效很慢，所以这个时候老师可能不愿意这么教，但是为了国家，为了培养孩子，你必须这么做。我想从小学到初中甚至到高中，一直在这么教，那可能中国基础教育就会改变面貌。
张丹：另外您提到那句话，如果想培养学生去思考，老师也要跟着学生一起思考。这点我觉得特别重要。
张丹：我们第二个非常关注的问题就是在新课程标准中，进一步明确了一些核心词，比如说数感，符号意识，运算能力，建模思想，空间观念，几何直观，推理能力，数据分析观念还有就是创新意识，您能不能对这几个核心词中的几个或者整体您给做进一步的解释。
史老师：
我想一个老师要讲好课，首先要对整个课的前后关系应该非常的清楚，一步步的，你要教的知识在关系中处于什么地位，这是第一步要清楚的。第二步是你说的核心词，这个是在知识以上的东西，这个要搞清楚。第三步老师要知道教书的重点和难点是什么。重点和难点是不一样的，重点是在知识过程中起关键作用的一些东西，难点是学生很难掌握。如果这三个层次的东西都掌握清楚了，它教课就会很自如了，刚才谈的数学思想、经验，只是上个层次的，现在正好进到下一个层次。
像数感，数感这个东西主要是对小学而言的。数感，数是什么东西呢，数是从数量抽象而出来的，两匹马，两头牛抽象出2，2本身是不存在的，存在的是两匹马和两头牛，所以在孩子们突然接触到抽象出来的东西之后，对数和现实生活中的表现应该建立一个关系，这个关系是很重要的，这个关系如何建立呢？你想数是从数量抽象出来的，数量的本质是什么，数量的本质是多和少，多和少动物肯定知道这个事，这个本质。一个狼来了，狗可以对付，来了一群狼它肯定跑，它就知道多和少，多和少抽象出数的关系变成了大和小，所以数的本质是大和小。这个是很重要的。因此孩子们应该感觉到这一点，地球和太阳之间的距离的时候用光年用多少，谈到家里到城市某一个地方去的话，用公里来谈，谈校内的情况可能就用几百米来谈，谈教室的情况可能几米，在桌上可能是几厘米，这个感觉应该很清楚。这样的话，突然出一个东西跟你日常的感觉不对的话，你就会提出自己的观点，怎么会不对呢。所以我认为这个就是数感，建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这个大概是数感很重要的本质问题。
张丹：另外在新课标中，或者在教材中，把估计也作为了培养数感的一个非常重要的内容。对于估计或者是估算这方面您感觉它对人的价值是什么？
史老师：估计是非常重要的，对培养数感估计也是非常好的。估计和数的运算有什么区别呢？估计的运算脑子里一定要想到量感，好比你谈到公里的时候，那就是小数点一位就足够了，估算，甚至只要谈到公里就可以了，不要谈到米，但是你谈到屋里的大小的时候，你就得谈到米
的单位，在米的单位下进行运算就可以了，厘米我可以不顾忌，但是在桌上画的时候，那可以他到厘米的单位，再往毫米就不估计。这样的运算叫做估算，所以你在买东西的时候，一般的东西以元为单位，你就估计到元，如果买电器产品，以千元为单位，就估计到千元。所以估算在本质上还是一种基于对数量的运算，而不是数理运算。当然在算的过程中是数，但是脑子里想的那些东西应该是数量，就是有量刚的，这个是估算的本质，要脱离了这个本质，估算就没有意义了。所以你先算完了之后再四舍五入，估算不是近似预算。
张丹：现在也有些误区很多老师把估算就像您说的教成了四舍五入，或者让学生脱离了背景去算，所以也造成了一些困惑。那么我感觉就是数感的核心就是数量和数之间的关系的理解或者是感悟。那您进一步谈谈符号意识。它的核心，它的本质是什么？
史老师：符号太重要了，没有符号就没有数学，因为数学上用数进行的所有运算都是个案，而数学要研究一般问题，一般问题只能通过符号来计算，因此在教符号的时候，要注意两件事情，第一件事情，符号可以像数一样进行运算和证明。第二件事情就是通过符号得到的结论是具有一般性的，2+3等于3+2，7+8等于8+7，你算出100个数都是个案，只有证明了A+B等于B+A才是具有一般性的，我想这是符号一个很重要的问题。
张丹：从具体到一般，或者从个案到一般，是为了表达一般的结论而得到的东西。那就是进一步我们用符号去刻划的过程中，可能有两个我觉得非常的重要，一个是符号之间的运算或者数之间的运算，也就是运
算能力。另外我用符号解决问题的过程中会产生一些模型，所谓建模思想。那就是运算能力和建模思想这两个方面请您再进一步谈一谈。
史老师：运算能力是很重要的，但是运算能力不是计算速度的快慢，现在很多地方非常强调计算的速度，其实不是重要的，一个是会算，第二个别算错，这两个是本质的。会算不是靠死记硬背的会算，应该懂得道理，运算这个事情不懂得道理是不行的。事实上，现在为止，整个数学只有5种运算，加减乘除和极限，极限就是后来微积分这些东西了。运算一开始都是从加法来的，它的逆运算变成了减法，它的简便运算变成了乘法，除法又是乘法的逆运算，因此这个事情必须掌握得非常的清楚，这样的话为什么要先乘除后加减呢？老师讲课总是说规定，为什么先算括号里后算括号外呢，是规定，为什么加法结合律为什么对减法也成立，是规定，为什么分配律对除法也成立呢，这些东西都是规定的话，这个学生你除了靠大量的计算外，他很容易出错的，比如为什么先乘除后加减呢？比如2加3乘3，为什么是2加9等于11，为什么这样呢，就是我刚才说的，乘法是加法的简便运算。2加3乘3是这个意思，就是2加3再加上3再加上个3，如果是这样的话，必须是2加9等于11，他说不一定，规定的事情，我们老说规定，规定的事情有两个可能，一个可能是这么也行，那么也行，比如数轴，我们规定向右，其实规定向左也行，交通必须往右侧通行，左侧通行也无所谓，但是这一点，大家规定得一样，不一样大家没有共同语言了；还有一种规定事实上是一种合理的东西，为了把它说得更简单一点就变化了规定。就像我刚才说的先乘除加减，实际上它是合乎常理，为了把这个话说得更简
洁一些。所以我们在教学过程中，不应该所有的都说规定，能讲得还稍微讲一下，孩子们明白了算理之后，就不容易错了，靠死记硬背只有靠大量的练习没有办法，这样就会造成孩子们课业负担过重，所以这块我认为还是很重要的。
刚才你跟我谈到模型的问题，模型是一种数学很重要的东西，我基本理解模型是这样的一种东西，并不是2X就是模型，甚至方程5X加3等于7就是模型，这不一定，它只是用来表示模型的一种工具。真正的模型应该是这样它阐述了现实世界或者是想象的一个故事，比如方程，故事在某一个量它俩是一样的时候就把方程建立起来了，比如最典型的模型是什么，就是路程等于时间乘速度，这也是个模型，这个模型知道了，列方程，好比甲乙，总是甲乙，一个人先走，一个人后走，俩人一块走，有一个人到哪溜达半天再聚也行，都可以，但是有一点是必须达到的，要不然就是在距离上他俩相等，要不就是在时间上他俩相等，要不就是在速度上他俩相等，这个就是模型，把握故事的核心，他们在量上是等价的，所以可以构建方程，这个我想是模型，要掌握成这样，模型就不是很多了，这样我们的教学就可以进行得比较好。
张丹：这个我觉得也是比较有启发的，原来我们对运算能力，在小学要算快算对，实际
上今天我们谈到了不仅仅是，首先是算对，但同时背后的道理也很重要。模型给我们的启发也是，像我们原来很多的应用题，分了很多类型，其实本质上可能像您说，原来有什么追击问题，相遇问题，同向的，反向的，但实际上它本质上都是路程、时间、速度这样的一种关系。
所以有人说，方程好象就是有用两种不同的方式来讲
一个故事，所以就画出了等号。另外我发现在课标中还有一个很有意思的例子，新课标关于鸡兔同笼，它与我们原来的处理很不一样。原来在中学主要是用了二元一次方程组来处理，在小学更多的是用所谓的假设兔子站起来，这种方法，学生根本就想不到，但是课标的处理和它不大一样。
史老师：对，课标的例子是我想的，我就是想，孩子们如何能够得到公式。还是我一贯的思想。后来我觉得鸡兔同笼，差两腿太难了，变简单点，把问题尽可能化简，然后再一般化，这是基本思想。后来我就变成椅子和凳子了，椅子是4个腿，凳子是3个腿。一共有
16个椅子和凳子，一共有60个腿，问有几个椅子和凳子。一般是可以讲道理，让孩子列公式，事实上不一定必须这么讲，正常的数学想法就是你试一试，假如16个都是椅子的话会怎么样，16个都是椅子的话，你发现64个腿，腿多了，要减椅子加凳子，16个椅子加
1个凳子，63个腿，还是多，那么再减，这样的话，孩子就能把结果得到，而且能够把公式得到。这么样，一个是启发孩子如何一步步的思考问题，还有一个就是增加孩子学习的自信心。你看我多厉害，我公式都可以得到，所以这样的教学我倒是认为应该尝试一下，所以数学不一定都是从讲道理开始的，因为道理孩子们不一定能听懂，但是你可以尝试，让孩子在过程中琢磨出道理来。大不了就是多一个少一个差一个腿，把这个理悟出来的话，我甚为这个就是数学活动经验也好，也是数学思想的培养也好，我想就是这样的。
张丹：这个确实是挺有意思，因为我最近也听了这样的课，孩子真的能从试一试的的过程中发现很多规律，有的孩子开始是一个一个的往下减，减减他如果发差的数量很大的话，他会跳着。
史老师：慢慢的他会自己想问题了。
张丹：还有的孩子是从一半开始试，先看是往上走，还是往下走。所以孩子确实就像您刚才说，我们把学生教的更加聪明更加智慧。而不是仅仅的就是照着题来解题。还有就是我曾经也听您说过，对于学生非常重要的是让学生试一试，这件事是非常重要的。
史老师：事实上，所有的重大的成果，都是试出来的，在一个非常简单的环境下，试出来的，然后在谈在非常一般的情况下会怎么样。甚至可以这么说，很好的一些科学文章，你看着很复杂，但是写的人脑子里的东西是很简单的，他只有在很简单的时候，才能够清晰，才能够严禁。
张丹：另外在标准中，图形这方面，提了两个关键词，一个是空间观念，后来又增加了几何直观。就关于这两个词您觉得它们的侧重是什么？
史老师：空间观念主要是对小学来说。几何直观是对初中来说，本质是几何直观，刚才我谈到了，要培养学科的直观，这个不光是数学，大概所有的学科都要培养学科的直观，对于数学来说，可以有代数的直观，可以有几何直观，可以有统计直观，但是代数的直观非常的困难，统计的直观也非常的困难。没有相当的训练是建立不起来的，最简单的就是几何直观，为什么因为几何直观看得见摸得着。对小学的时候不能对学生要求太高。这样的话，知道一些方位。空间观念的核心不是一个点，而是两个点。所以数学在本质上研究是关系，两个点之间的方位关系是空间直观。比如从这个点，你猜我看在哪边，其实这个比较难的，如果
能这个想清楚，这个孩子逻辑思维能力就挺强的，就是在你那看，我在什么地方，这样的思维如果都能达成的话，这个孩子逻辑思维能力就很强，这里空间好象是一个直观，其实有一个逻辑思维能力，它们之间的关系。
张丹：空间观念不仅仅是简单的视觉，是思考的逻辑，有推理在里面。那么自然的推理能力也是数学一个非常重要的东西，过去我们可能对推理就是几何证明，现在的推理还有在课标中有演绎推理，当然演绎推理不仅仅局限在几何，还有一个以归纳为主的叫核心推理，或者叫什么，您对推理的归纳和演绎之间您是怎么看的？
史老师：首先我们得说什么要推理，推理是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。那么一个推理是不是有道理，或者是一个推理是不是有逻辑的，就是应该有一条主线能够把思维过程穿起来，那就是有逻辑的。这样说话就没有逻辑了，苹果是一种味道，苹果是酸的，酸的是一种味道，那么苹果就是一种味道，这也是推理，这个推理不正确，所谓不正确是没有逻辑，为什么没有逻辑，没有一条主线能够把这些穿起来，所以一个推理是否有逻辑的核心，就是一条主线能够从头彻尾的命题判断内涵里有一个共同点，一直从头彻尾能够贯彻下来，这是逻辑推理，就是有道理的推理。然后有两种情况，一个是命题的范畴由大到小推理，这个叫做演绎推理。犯人都有死，这个命题很大，苏格拉底是人，命题小了，苏格拉底又死了，这样的，是这么包含下来的一种推理，这种推理永远不会错，所以这种推理叫做演绎推理。还有一种推理是从小到大的推理，从小到大的推理是这样的，苏格拉底是人，苏格拉底又
死，柏拉图是人，柏拉图又死，亚里士多德是人，亚里士多德又死了，所以
我推断，犯人都有死，这个推理不一定是对的，因为它是从小命题，你命题范围大了，那些命题可能又不成立的，从小到大的推理，这个不一定是对的，不一定对的，但是是发现真理的办法。就像我刚才举的A平方减1的，我才推到6，我就给公式给出来了，那这个公式很可能是错的，不一定是对，然后再用演绎推理再证明一下，所以这两个思维过程是极为重要的，一个是发现结果或者预测结果的方法，一种是你预测了结果是否正确的检验方法。所以这两个方法，如果你想培养创新型人才，这两个办法都必须教，侧重任何一个都是不对的。这里还有一个问题，就是演绎推理一开始因为欧几里得的原因，他证明的第一个几何题是这么一个题，给一个长度，能够根据这个长度，做一个等边三角形，然后他用圆规在这画一下，在这画一下，一连线，然后证明等边三角形，用了等量的等量，还是等量的公理，他的证明形式就是说完之后括号是因为什么原因，结果后来证明都是这么证的，这么证不符合人的正常思维。所以我到是想，初中的证明过程，孩子们只要思考的本身有逻辑的话，就应该算对，不应该过分的追求形式，形式不是主要的，还是实质。证明的实质是主要的。
张丹：就是培养他能够自始至终的有条理的思考是重要的，至于他用什么样的形式表达，我觉得不一定要统一的形式。
史老师：什么叫有条理，我想我也解释了。
张丹：在核心词中，我觉得还有一个核心也是大家非常关注的。在原来的课标中把它叫做统计观念，在新课标中，把它叫做数据分析观念，可能大家就在思考，第一为什么要改个词。第二个现在的数据分析观念的一些实质是什么。
史老师：这个是非常核心的，现在在加了统计的内容，统计内容我觉得加得是非常有必要的。我看到国外对中国义务教育阶段的培养一直赞赏的是加了统计，这个是很好的事情。但是统计不能按数学那么教，因为它的出发点不一样，数学的出发点是公理或者假设。
统计出发点是数据。所以我说一个讲课的方法，你们看看这个区别在什么地方：抛一个硬币，正面、反面。可能会出这样的题，连续抛5个都是正面，第6个是正面的可能性是多大，答案还是二分之一，为什么是这样，你假定了出现正面二分之一，是你假定的，你用假定的东西来进行回答，那是数学，不是统计，要搞统计的话，连续出了5个二分之一，我就怀疑硬币不是均匀的。所以你讲课这么讲，好比说一个袋子里有5个球，4个白球，一个红球，但是你并告诉学生，让孩子摸，摸完之后，因为白球比红球多，最后你问孩子，白的多还是红的多，通过这些数据，能够知道一些什么，能够得到一些信息，这些东西就叫做数据观念，这是统计的基本思想。
张丹：就相当于从数据中去进行一些推测或者说从数据中帮助我们做一些决定，这是非常重要的。
史老师：就是在数中含有信息，这个信息能够对我们的决策提供参考。
张丹：您说到这，让我想起我在东北师范大学上学的时候，在东北师大附小，把您的问题让学生去做了。也是不告诉他袋子里有多少个球，让孩子们去猜袋子里是红的多还是白的多，袋子就不让他打开。学生去
摸，在摸的过程中，他确实体会到，我多摸几次，然后我看看摸出来的哪种多。而且特别有意思，有一个孩子回答我印象很深刻，我后来问他这么一个问题，说你们觉得这个游戏好不好玩，可能孩子觉得好玩，但是也有孩子也提出了，你为什么不让
我们打开袋子来看一看，就直接看就得了。后来我就把这个问题抛给孩子，有一个孩子说如果球特别多的时候，不又允许我打开的时候不能判断，他又联想，比如说我想知道池塘里有多少个
鱼，我根本没有办法一个一个的打开看，所以我就可以从中捞一个，看看里面是金鱼多还是什么多，由此我推断鱼的比例。
史老师：但是现实生活中，大部分我们不知道，我们还想知道，但是这个例子是一开了。
以后逐渐学得多了，他就要往这方面走了。
张丹：所以后来说，是不是也是属于他的经验。
史老师：孩子有这样的思考，千万不要打击孩子的积极性，就让他这么想，有想象力是创造的基础。
张丹：我想从这个角度看统计，确实统计能够激发人们去猜测，去创造很多东西。
史老师：统计在本质是归纳。从特殊情况来预测一般的情况。这是典型的归纳的想法。
张丹：另外我发现在数据分析观念中还有一条，让学生了解到处理同一个问题，可能有不同的方法，这个问题是很多老师不太习惯的。老师总认为。好像一个情景最好一个方法。
这个地方您能给我们稍微解释一下。
史老师：因为这个是预测，几乎怎么说都可以，就是谁说的有道理，所以不在于对和错，是在于他说的方法好还是不好。比如说打篮球，打篮球一个人投10个球中了8个，一个人投了篮球中了1个，你选队员选哪个，你肯定选8个的，为什么呢，他投中的比较多，为什么投中多，因为投中的可能性是十分之八，那个人是十分之一，这是一个方法，就是投球的总数和他投中球的比一种估计方法。但是这个人投了一个球投中了，你能说他是百分之百吗？
这个时候还有一种方法，把底下加两个，上面加一个，就是1加2等于3，1加1等于2，他估计投中率是三分之二，这是一个估计方法，这个方法也是一个很好的方法。所以估计方法认准只是这一个是不对的。因为大千世界是非常复杂，所以针对问题的背景，选择合适的方法，这是人类智慧的表现之一。
张丹：变得比较灵活了，也是很有趣的。最后两个关键词，就是关于创新意识和应用意识，您看看关于这两个您还有没有想要跟老师们建议的？
史老师：创新意识不要认为创新真是创新，孩子真能创造出新东西很困难。就是他得到
了他自己不知道的东西就是创新。创新很重要的是培养自信心，他觉得有趣，他觉得经过了认真思考，得到的结果很高兴，这是创新意识，这个是很重要的。因此像我一开始讲的尽可能让学生得到一些东西，是很重要的。所以这个是创新意识。应用意识不仅仅是解几个应用题的问题，应该意识还是我想说的会规划，从头彻尾想明白。我们现在的学生出国留学的学生很多就是不会写研究报告，得不到资金的支持，因为从小没有这个训练，因为真正一个创新也好，比如设计一个旅游，从头彻尾想一想，应该怎么，或者是一个班会，新年晚会，要
多少水果，算一下，这个东西我们大概能有多少钱，这个想法，像这样的应用就是有构想性的应用，而不是老师把题都出完了之后的应用，这样的应用是很重要的，这是对培养应用意识很重要的。
张丹：就是他有这个想法，想发现问题，同时他又能够设计解决问题的途径。
史老师：就是问题的提出他自己提，问题的难点是什么，他自己知道，像这样的事情跟刚才说的活动经验是一致的，就是这个是很重要的，这个东西在我们过去不培养，不培养的话孩子老也没有这个经验，到了18岁还没有经验，或者大学毕业还没有这个经验的话，你
让他怎么创造，这个是不好办的，所以这个还是很重要的。
张丹：其实这些东西都是联系的。
史老师：整个本质上是一样的。
张丹：刚才我们对核心词有了一个讨论，大家可以回去进一步的通过学习课标再一次体会这些核心词的含义。
小学推理意识
01推理意识的内涵
推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题或结论;能够通过简单的归纳或类比,猜想或发现一些初步的结论;通过法则运用,体验数学从一般到特殊的论证过程;对自己及他人的问题解决过程给出合理解释,推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯,增强交流能力,是形成推理能力的经验基础。
2022年版课标把2011版课标中的推理能力改为推理意识，主要是对小学和初中阶段的推理要求进行水平区分。推理意识主要是指“对逻辑推理过程及其意义的初步感悟”。推理意识可以看作推理能力的初期阶段，主要是让学生经历初步的逻辑推理过程，基于经验的感悟，形成初步的意识，既能进行合情推理，又能进行初步的演绎推理。
02推理意识的表现
小学阶段的推理意识主要包括以下几个方面的表现：
1.关注数的概念、运算与关系的形成过程，了解其中的前因后果。
2.能够依据一定的规则对数量、图形进行分类，知道部分与整体的关系。分类是形成概念的前提，也是推理的基础。
3.知道数学中的判断有真有假，如果是真的，就需要“给出理由”,如果是假的，就可以用实例来反驳。
4.初步感悟数学中的对错是由一定规则决定的，不能靠哪个人说了算。
5.能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论。
6.能够根据给出的实例找出其中的规律，能够说明规律的一般性，并利用一般规律解决简单的问题，体会一般规律的意义。
7.能够用化归的方法形成局部的演绎推理。
8.能够理解数学问题的条件与结论，在简单的问题情境中发现和提出有意义的数学问题。
9.能够基于直观经验和所学的数学知识对简单命题的真假给出自己的判断，并说明理由。
10.能够理解别人的思考(包括推理)过程，提出自己的疑问或评价。
--《义务教育数学课程标准（2022年版）解读》史宁中
曹一鸣
03发展学生的运算能力需要注意什么？
1.推理意识的发展应贯穿于整个小学数学学习过程。
在各领域的学习中，要始终关注学生推理意识的形成与发展。推理意识的培养应贯穿在多种数学活动中，鼓励学生在螺旋上升、循环往复的学习过程中不断积累经验，形成推理意识。
2.鼓励学生不断经历“猜想--验证”的全过程。
猜想和验证对推理意识的培养至关重要。教师要设计丰富的数学活动，鼓励学生不断经历从提出猜想到验证猜想的全过程。鼓励学生通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并进一步寻求证据，加以验证。其中，归纳、类比是获得猜想的重要方式。归纳推理是以特殊为前提，推出一般性结论的推理。类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们的另一属性也相同或相似的一种推理。类比既可以是结论的类比，也可以是方法的类比。当学生提出各种猜想后，教师应鼓励学生加以验证。小学生往往采用再举一些例子、利用生活现象和借助图形等方式进行解释，也会利用概念的意义等加以说明。验证的形式也是多样的，既可以利用符号来说明，也可以利用自然语言、图表等来解释。
3.鼓励学生有条理地表达，说理有据。
发展推理意识能促进学生的数学表达，而数学表达有助于学生推理意识的形成。因此，在观察、实验、猜想、验证等数学活动中，要让学生逐步养成清楚地表达自己的思考过程和思考结果的习惯，力求做到言之有理、落笔有据。
--《义务教育课程标准（2022年版）课例式解读.小学数学》孙晓天
张丹主编
04小学阶段推理意识的特点及教学中注意的地方
一般来说，小学阶段的数学推理有以下几个特点：①属于局部推理，在严谨性、符号化程度上要求不高;②推理形式主要是归纳推理、类比推理与关系推理;③推理
的对象主要是数运算和测量活动;④推理行为一般在具体的情境中发生，需要借助直
观操作与日常经验;⑤不同学生的推理水平有较大的差
异，需要创设不同水平的推理
活动。因此在小学阶段，至少要从两个角度关注推理意识的教学。
第一，重视算理及运算的一致性。
数学运算本身就是一种推理，而且是一种严格的推理。如果只是把运算看作一种程序化的机械操作，那就失去了其应有的意义。《2022年版课标》强调算理和运算的一致性，在一定程度上就是强调运算的推理意义。
从运算的代数结构看，运算法则就是一种逻辑规则，其基础是对运算的定义和运
算律的规定。因此，各种运算法则、算法是否“合法”需要通过运算律进行解释或论证；对运算一致性的理解同样涉及推理过程。因此，加强算理的教学是形成推理意识的前提。
第二，加强“找规律”活动。
“找规律”是小学阶段的一种典型的数学探究活动，也是培养学生数学推理意识的有效途径。小学阶段可以进行的找规律活动几乎涉及所有的数学学习领域。例如：在数与运算中，可以讨论像“偶数加偶数，和还是偶数”这样的运算规律，也可以探究“什么情况
下两个两位数的和是一个三位数”这种开放性问题;在计数活动中，可以利用一一对
应、树状图、表格等方式表示与解释规律，也可以利用对称性、公
式简化计数过程;在“图形与几何”领域，还可以借助直观、操作来解释规律。
解题篇经典题突破方法高二数学2021年4月归纳推理的几种类型■江苏省盐城市时杨中学
刘长柏《普通高中数学课程标准（2017年版）》
A.
a
B.
a
+
C.
2a
D.
2a
+4明确提出了高中数学核心素养。逻辑推理作
解析:<21=
=
+1=
2,s
=
+
=
为数学核心素养的六个方面之一，主要表现
3,a4=
H-3-|-l
=
=
a2+a385=
+
+
3=
为发现问题和提出问题，探索和表征论证过
=
a4+5，…，以此类推可得a”
=
an-i
+
程。其中“发现问题和提出问题”指的就是归
a?-25工3）。纳推理能力。史宁中教授这样描述归纳推理
故
s
+
S
+
…^2022=
a2a3~F
…+
的定义：“从经验和概念出发，按照某些法则
d2021+（Q1+
^2+
???
+
^2020）。进行的、前提与结论之间有着某种联系的推
&V
liX
a2022a
S
020，S
o2o
a
O理。”可见，归纳推理具有创造性思维，是发
故选Ao现数学规律的过程。此外，归纳推理的过程
点睛：本题考查了合情推理与组合数，重
中需要大家不断地观察和比较事物，从具体
点考査了同学们对归纳推理的理解与运用，问题入手抽象出一般数学模型。也就是说，意在考査同学们观察、分析、归纳、推理判断
归纳推理的学习还能促进学生的数学抽象、的能力。同学们解题的关键是能通过观察、直观想象等核心素养的培养。归纳推理数学
分析从前几个特殊的等式中总结出一般规
思想方法在解决探索性问题、存在性问题或
律，从而得到结论。与正整数有关的问题时有着广泛的应用。其
练习1:（2020年河南高三联考理数）《聊
思维模式是“观察一归纳一猜想一证明”，解
斋志异》中写到：“挑水砍柴不堪苦，请归但求
题的关键在于正确地归纳猜想。穿墙术”。在数学中，我们通常称以下形式的类型一：结论型等式具有“穿墙术”：2厝=碍,3得
结论型归纳推理是指先通过对特例的观
察，再去发现一般规律。解题的基本步骤是：
=]3,4/善=〔4善o按照以上规律，先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似
性推广为一个能明确表述的一般命题。若m石号具有“穿墙术”，则m,nf
（2020年安徽高三联考理数）在
满足的关系式为（）。我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》
A.
n
=
2m
—
1B.
n
=
—
1）一书中，用如图1所示的三角形（杨辉三角）
C.
n
=
（m一l）2D.
n
=
m2一1解释了两项和的乘方规律。右边的数字三角
形可以看成当n依次取0,1,2,3,…时（a
+
解析：由题可知：2bY展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数
的和组成数列｛an
｝
o例5=
1,02=
+
1,03=
+
2,…，设数列｛j｝的前n项和为Sn
o
如果
a2022=a
+2,那么
S202=
刊（）
otJ
411.1Al-（11屮卩
i
i
i
?"I
J
I所以宛=祝2—1,选Do（a+AJ41类型二：周期型此类问题一般会在周期上设置障碍，要图13解题篇经典题突破方法高二数学2021年4月通过周期的定义或有关结论算出已知式子的周期，再进行求值运算，特别是抽象函数，要
能够熟练运用赋值法。此类问题往往以函
数、数列为载体，考查同学们对周期的求解。侧2(2020年安徽庐阳期中考试)观)。OOO
依次排列，得数列O0O
oooo1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,o??
O
1,…，记作数列｛a”｝。若数
@
o
o
o
O0?o
Q?
O列｛a”｝的前”项和为S”，则
的数从上到下，从左到右
察下列各式：55=
125,5。=
15625,
5?
=
S5=()。图27125,…，则0咖的末四位数字为(A.
625C.5625A.
265B.
521D.
059B.
125D.
3125C.
034解析：将
1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,解析：观察可知5s
=3125的后四位为
4,1,…分组为(1),(1,1),(1,2,1),(1,3,3,
1),(1,4,6,4,1),…。则第n组有n个数且这n个数之和为
125；
5°
=
15625的后四位为
625；
5=
7125的后四位为125；5=
39625的后
四位为625；
5?
=
953125的后四位为
2W_1O设％
在第”组中，则"("严
W57W3125,末四位数字周期出现。因为202=
4X505,所以52020的末四位数字为625。故选A。n(72+
1)点睛：求解本题的关键是引导同学们通
过观察变量间的规律发现末四位数字的周
期，这样可以简化解题过程，同时培养同学们
2，解得n
=
lloa57在第11组中且为第11组中的第2个数，即为C；0o的思维能力。练习2：已知数列｛a”｝满足则
S5?
=2°
+2】H-…+
2°
+
(Cfo+C；o)=
034,选
Co点睛：同学们解决此类问题时，需要细心
a”=丄，5=
>
则
S
oi=____o解析，则
/(n+2)=/(n
+
1)
—
观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系。
图形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形
/(n)o
若函数满足
/"(広+2)
=
/""
+
1)
—
/(^e)，贝Ij
/(^r
+
3)
=
/(rrd-2)—于(鼻
+
1)。
两式相加得/(x-i-3)=
-/a),所以+
变化规律的归纳。练习3：将正整数对作如下分组，第1组
6)=—于(工+
3)
/(工)=/*(工+
6),即函数
_fGr)的周期为6。易知
/
为｛(1,2),(2,1)｝,第
组为｛(1,3),
(3,1)｝,
第
组为｛(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)｝,第
+
/(rr-|-l)+/(^
+
2)
+组为｛(1,5),
(2,4),
(4,2),
(5,1)
｝,???，则第
/
(jc
+
3)
+
jf
(jt
+4)
+y(a:
+
5)
=o30组第16个数对为
o解析：由题意可得第1组每个数对中两
数之和为3,第2组每个数对中两数之和为
所以
S?
01=5+
…+^201=5+s
=3°类型三：分组型分组型归纳推理题目呈现方式为一些有
4,第3组每个数对中两数之和为5,第4组每
个数对中两数之和为6,…，第n组每个数对
中两数之和为n
+
2,且各个数对对应数字按
顺序排列，无重复数字。故可得第30组每个
规律的数组，考査同学们的归纳推理能力，解
答这类问题的关键是明确题意，发现题目中
的变化规律。伸］孑(2020年湖北江岸高三期末理
数)杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系
数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋
数学家杨辉所著的《详解九章算法M1261数对中两数之和为32,则第30组第16个数
为(17,15)。类型四：递推型递推型归纳推理是依据问题所呈现的数
量间的关系或相关规律，辅以一定方法来递
推归纳，得出问题的通式，从而探知变化规律。年)一书中用如图2所示的三角形解释二项
式乘方展开式的系数规律。现把杨辉三角中
31申畧生^理化魁质经籍鴛普15>1（2020年四川成都七中高三测月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周
试理数）在正整数数列中，由1开始依次按如
年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅
下规则，将某些整数染成红色。先染1;再染
兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让
3个偶数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连
世界感受到了中国的日新月异。此次阅兵有
续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的一个很抢眼的方阵，他们就是院校科研方阵，个连续偶数
16,18,20,22,24,26,28；再染
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大
此后最邻近的9个连续奇数29,31,…，45。
学联合组建，若已知甲、乙、丙三人来自上述
按此规则一直染下去，得到一个红色子数列：
三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位。
1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,…，则在这个红
现知道以下条件：①甲不是军事科学院的；②
色子数列中，由1开始的第2020个数是来自军事科学院的均不是博士；③乙不是军
事科学院的；④乙不是博士学位；⑤来自国防
解析：按照染色数的出现顺序，按奇偶分
科技大学的是硕士。则甲是来自（）院组：第一组1个奇数，第二组3个偶数，第三
校，学位是（）。组5个奇数，第四组7个偶数，…，第n组有
A.
国防大学博士2”一1个数。显然"为奇数时，这组数为奇
B.
国防科技大学硕士数，”为偶数时这组数为偶数，通过计算发现
C.
国防大学学士第n组最后一个数是2n2~n,到第”组最后
D.
军事科学院学士一"数，总共有n个数。442<2020V45",
解析：由①③可知，丙来自军事科学院，第2020个数在第45组，到第45组共有2025进而由②④可知，乙、丙不是博士，甲是博士。
个数，最后一个是2025X
—45=
005,去
由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲
掉后面5个数，得到3995。来自国防大学。故答案为3995。所以甲来自国防大学，学位是博士，选
点睛：求解本题的关键是细心观察，寻求
A。相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联
点睛：解决这类问题常用的方法有直接
系相关的知识。法、假设法、排除法、列表法和枚举法等。练习4：观察下列各式:a+b
=
l,a2+b2练习5：12020年辽宁省葫芦岛市高三5=
3,a3+fe3=4,a4+fe4=
7,
a5+&s
=
11,—,
月联合考试】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加
贝！I
a10+b10=
。了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告
解析：通过观察可知各式的值构成数列
知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲
1,3,4,7,11,
—
,其规律为从第3项起，每项
说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没
等于其前相邻两项的和。所求值为数列中的获奖”；丁说：“我获奖了”。若四人中只有一
第10项，继续写出此数列，即1,3,4,7,11,
人判断正确，则判断正确的是（）。18,29,47,
76,
123,―,第
项为
123,则
A.甲
B.乙
C.丙
D.
Ta10+ft1=
123o解析：由题意知，甲和丙的说法矛盾，因
类型五：逻辑推理型此两人中有一人判断正确。故乙和丁都判断
逻辑推理题是近几年高考的创新题型，错误，乙获奖，丙判断正确。选C。由于该题不涉及数据，也没有几何图形，只涉
类型六：信息型及一些相互关联的条件，故该类问题是考查
新信息型问题，主要考査同学们的阅读、同学们抽象思维的很好载体，逐渐受到命题
分析、归纳等综合能力，同时在解题过程中又
者的青睐。可应用许多新方法、新观念，从而增强大家的侧5[2020年重庆市江津中学、实验创新意识。中学等七校高三下学期6月联考12019年101W
b【2020年重庆市南开中学高三教32解题篇经典题突破方法高二数学2021年4月学质量检测】数独起源于18世
a1纪初瑞士数学家欧拉等人研究
的一种拉丁方阵，是一种运用
4纸、笔进行演算的数学逻辑游
5■1*152h1所以
a-\-b-\-c-\~d
=
19选
Do点睛：本题考查推理与证明中的合情推理，考査同学们的分析、观察、判断能力，是一工2J2G51[2di53道容易题。戏。如图3就是一个迷你数
独，玩家需要根据6X6盘面上图3练习6：
（2020年四川省冕
宁中学校高三三模）“幻方”最早
记载于我国公元前500年的春
的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3X2）内秋时期。“n阶幻方（n>3,ne的一个聲阶方阵，其各行各列及□□口□□H□□□图5的数字均含1—
6,每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的N*）”是由前n2个正整数组成
a+b+c+t/
=
()
oh[15两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等。例如“3阶幻方”的幻和为15（如图5所2JA.
11B.
13C.
15D.
17解析：由题意，如图4,从第
a二列出发，由于每行每列都有
2■15&456示），则“5阶幻方”的幻和为（）o1斗2b5斗A.
75B.
65C.
55D.
45解析：依题意“5阶幻方”的幻和为1一6,所以第4行第2列为2,
第4行第6列为5,6+
^
=
+
22J1c55162J31+
25=
10。第2行第3列为6,第5行第3列为4,第5行第5列为图41+
2-------2552X25565，故选B。（责任编辑徐利杰）6,第3行第5列为4,第3行第1列为5,所以
a-|-c
=
l
+
=
7o（上接第29页）八./
、In
rc—rc2—2，/,
、令兀(工)=-------2--------，见I兀(工)=OC从而
（h）
=g‘（re）+祝三0恒成立。故
/(h)-------3-----o
当
H
&
(,
e2)时，A/(:u)>0；当
ocE
—
21n
t
-g，(rc)+?nW
時11+
?nW°故
TnWl乂€
（eT
,+°o）时，7i"（z）V0。函数，在区间（/,+*）上是单调递减函数，5_所以/t（e）在区间（0,/）上是单调递增5_点、评：这里所给的不等式5—工2>皿兀口2更加复杂9A
1g"（%）Wg‘（e?）=時一IVO。所以g（z）在（0,+oo）上单调递减。
于（工2）
f（^1）从而
g（Hi）>g（H2），艮卩------V-------,关键有两点：一是如何去掉绝对值，二是如何
将含心，工2的式子分别位于不等号的两侧。处理时先利用“不妨设”将不等式左侧的分母
乘到右边，而将右侧的除到左边，于是得到于（兀2）
八5）鼻1鼻2故----------------Am
Crr2—
rc】儿>m
（竝
—）,构造函数5gd+
m工2，即，利用导数研究其单调性，判断所以于5）5+祝口
>于（工2）绝对值内式子的符号，去掉绝对值，再构造g（Hl）+祝工1> （鼻2）+加兀2恒成立。设
cp
（rr）
=
g
（rc）
+
moc，贝!j
申（re）在（0,
^（?x）=g（鼻）+
mac
,问题也就顺利解决。（责任编辑徐利杰）+
oo）上恒为单调递减函数。33
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