运用“假设法”解决“鸡兔同笼”问题

【摘要】“鸡兔同笼”问题是我国古代有名的数学问题，也是一个有名的难题。对这个问题的解决有多种解题策略，教师要善于引导学生学会多种解题策略，特别要使学生掌握假设的解题策略和方法，灵活地运用假设法熟练地解决“鸡兔同笼”问题和类似的题目。

【关键词】解题策略 假设法 鸡兔同笼 熟练掌握 灵活运用

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）17-0138-02

“鸡兔同笼”问题出自于我国古代数学著作《孙子算经》，现在是青岛版小学六年级下册五单元后面《智慧广场》后面的自主练习中的一道练习题。题目是这样的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”把它翻译成现代汉语是：现在有一些鸡和兔子被关在同一个笼子里，鸡和兔共35个头、94只脚。问鸡和兔各有多少只？

这本教材的本意是让学生了解并学会解决“鸡兔同笼”问题以及与“鸡兔同笼”问题类似的问题。大部分同学认为鸡和兔子关在同一个笼子里，笼子一般都不会太大，鸡和兔子在笼子里唧唧喳喳、挤挤挨挨、动来动去。数头吧，不好数；数脚吧，更不好数了，这么多脚，数的过来吗？能数准确吗？尽管题目中已经告诉我们了头和脚的个数，但是，就是有那么多的同学想刚才的一些疑问。正是这些与数学题目本身无关的想法，分散了学生们的精力，干扰了他们的数学思维。所以，这部分同学在听课的时候非常容易走神，老师讲得解题策略和解题方法，他们根本听不进去，满脑子的鸡和兔子一大堆在那里乱哄哄地吵吵闹闹。所以，这么多年的教学下来，就是有相当多的学生掌握不了这种题目的解题方法。

这本教材的内容安排方式是做了一番处理的，采用了大家都熟悉和常见、常用的四轮小汽车和两轮摩托车来分别代替四条腿的兔子和两条腿的鸡。这种处理方式是很好的，变动的动物为不动的交通工具，学生们在思考问题时就排除了许多无关干扰的因素，有助于学生把自己的注意力集中到题目本身的解决上。课本81页“智慧广场”中的问题是：一个停车场里有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆。如果这些车共有86个轮子，那么停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？

课本中介绍了两种解题方法。一是列举法：采用了表格的形式。

让学生继续试下去。然后，让学生谈自己的发现：小汽车19辆，摩托车5辆时，轮子数是86，这就是问题的答案。这是采用的列举法解决的问题，也就是枚举的策略。当数学问题已难与原认知结构建立直接联系，而且难于找到解决问题的入口时，可采用列表一一枚举，尝试、猜测、调整，直至问题的解决。

老师引导学生继续观察表格，再谈自己的发现：

1.每减少一辆小汽车，增加一辆摩托车，就减少2个轮子……

2.当小汽车数是24，摩托车数为0时，轮子总数：4×24=96

比实际多出的轮子数：96-86=10（个）

一辆小汽车比一辆摩托车多的轮子数：4-2=2（个）

摩托车数：10÷2=5（辆）

小汽车数：24-5=19（辆）

3.一生列算式计算：

（4×24-86）÷（4-2）=5（辆）

24-5=19（辆）

第二种方法实际上是假设法，这是采用的假设的策略。在解决一些较复杂的数学问题时，当已知条件与所求问题之间有明显的空隙而不易探求时，可以根据条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进行推算，使问题得到解决。

到现在为止，学生们还没有理清这种解决问题的方法，老师这时就应该适时地、明确地告诉学生这是假设法以及这种方法的应用。

1.假设24辆都是小汽车。

4×24=96（个）

96-86=10（个）

4-2=2（个）

10÷2=5（辆）

24-5=19（辆）

答：停车场里有19辆小汽车，有5辆摩托车。

也可以列综合算式：

（4×24-86）÷（4-2）=5（辆）

24-5=19（辆）

答：停车场里有19辆小汽车，有5辆摩托车。

这里，存在一个问题，有一部分学生不知道先算出来的5辆，是小汽车呢？还是摩托车？这部分学生出现了困惑，感到很烦恼，心里不舒服。

我重新给学生理清思路：一开始，我们假设24辆全是小汽车，算出的轮子总数是96个，比原有的86个轮子多10个。这10个轮子是怎么多出来的呢？是每辆摩托车多安了2个轮子（每辆摩托车看成小汽车后就多了2个轮子），一共多了10个轮子，应该是10÷2=5（辆），也就是应该是5辆摩托车。这一点弄明白了，那么24-5=19（辆），就是小汽车的辆数。

道理讲清楚了，学生也明白这个道理了。这时可趁此机会让学生总结出一个规律性的东西来：先假设全是小汽车时，先算出来的辆数是摩托车，后算出来的就是小汽车。让学生掌握了这条规律，学生就不会感到迷惑，也就不会困惑了。

这道题的假设法也可以这样来用：

2.假设24辆都是摩托车。

2×24=48（个）

86-48=38（个）

4-2=2（个）

38÷2=19（辆）

24-19=5（輛）

答：停车场里有19辆小汽车，有5辆摩托车。

也可以列综合算式：

（86-2×24）÷（4-2）=19（辆）

24-19=5（辆）

答：停车场里有19辆小汽车，有5辆摩托车。

这时，学生对解决“鸡兔同笼”问题所采用的假设法，已经掌握得非常熟练，能够运用自如。下面的时间就可以让学生自己解决课本82页的“鸡兔同笼”问题。学生独立解答，教师巡视课堂，看学生的做题情况，然后指定学生到黑板上板演。

生1：假设有35只鸡。

2×35=70（个）

94-70=24（个）

4-2=2（个）

24÷2=12（只）

35-12=23（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

生2：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）

35-12=23（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

（这是列综合算式计算）

生3：假设有35只兔。

4×35=140（个）

140-94=46（个）

4-2=2（个）

46÷2=23（只）

35-23=12（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

生4：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）

35-23=12（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

（这是列综合算式计算）

老师说明：假设的这句话，可以写出来，要是心里清楚也可以不写。写出来更好一些。再有，做完题目之后，必须把数据代入题目检验一遍，保证做题的准确性。再让学生运用假设法独立完成课本82页的1、2、3、4题，做完后，小组内互相交流，掌握得好的同学帮一帮理解力稍差一点的同学。相信所有的同学都能掌握假设法，都能自如地解决“鸡兔同笼”问题以及与“鸡兔同笼”类似的问题。

在学生们的心中，“鸡兔同笼”问题不那么可怕了，也不那么难了，而是能够轻松地解决了。还会去给别人讲明白如何解决“鸡兔同笼”问题以及与“鸡兔同笼”类似的问题。再者，上面提到过：解决“鸡兔同笼”问题有多种解题策略，其它的解题策略让学生自己课下去研究、去探讨，也可以作为课外数学兴趣小组的研究课题去研究。课上，老师只把运用“假设法”解决“鸡兔同笼”问题和类似的题目讲清楚，学生能灵活、熟练地掌握就可以了。