层次分析法在投资策略中的应用

中图分类号：F830.3 文献标识码：A

内容摘要：本文回顾了现代金融理论中作为理性经济人进行最优投资组合选择的基本原理，特别是对利用效用函数进行决策的方法及其在实际应用过程中的缺陷进行了分析。基于存在的问题，文章拟用运筹学理论中的层次分析法（AHP），对于从更加清晰、理性和数量化的角度，对完善投资决策方法进行了探索。

关键词：投资组合 风险 效用函数 AHP层次分析法

研究背景及其假设

投资策略，或投资组合选择，是研究人们（在理性经济人的假设下）应当如何进行财富投资。根据现代金融理论，假设市场上存在着一系列的风险资产（Risky）和单一的无风险资产(Risk-free)，对于这些存在的待投资资产，其衡量指标在简化条件下有两个：收益率期望（均值）和方差（或标准差）。可以通过统计方法，利用历史数据并结合机理预测方法得出各资产的上述两个指标。在进行投资的时候，对于回报进行预期，总是希望期望收益率尽可能大，而风险尽量地小（这里运用方差或标准差来衡量风险的大小，即方差要尽量小）。

投资组织最优化模型的建立与分析

在以上假设前提下，投资组合的最优化过程通常按以下两步骤执行：找到风险资产的最优组合；将最优风险资产组合与无风险资产相结合。通过这两个步骤，可以找到投资者愿意承担的任一程度的风险下的预期收益率最高的投资组合，本文先从这个过程分析入手。

先关注市场中的风险资产。假设这一系列风险资产A1、A2、A3......所对应设期望收益率和标准差分别为：μ1、μ2、μ3......和σ1、σ2、σ3......然后假设期望收益率和标准差分别为：μ1、μ2、μ3......和σ1、σ2、σ3......然后假设我们为理性投资者，对这一系列资产进行投资，其投资的权重分别为w1，w2，w3......以此类推（其中∑ω=1），根据概率论和数理统计有关的知识，可以建立总的预期收益率和标准差关于各w的参数方程，利用消除参数的数学方法（轨迹法），得到收益率和标准差的曲线方程为双曲线的一部分，如图1。

双曲线上（包括其内部）的任一点都是可达到的投资组合点，随着各w组合方式的不同而不同。在双曲线最小标准差点以上，随着标准差的增加，收益率也增加，这样的投资是有效的。本文找到了第一步所需要的风险资产的最优组合。于是我们进行下一步，在有无风险资产可选择的情况下（假设收益率为r，当然，其风险——标准差为0），根据现代金融理论，此时最优选择应该是通过这个无风险资产所代表的点（位于纵坐标上）作双曲线上半部分的切线，这样形成的一条资产组合线，就是我们所要的在任一风险程度下的最优投资组合，如图2。

图中a点代表无风险资产点，b点是切点。射线ab上（以及其以内）的点投资者都可以通过投资组合达到。射线ab上的投资组合就是最优的投资组合方式（投资策略）。在完成以上分析后，我们的重点是，一个投资者（或一个独立的投资体），他将在射线ab上选择哪一个点进行投资？也就是说，投资者最愿意承担什么样的风险去获得多么大的期望收益率？对于这个问题，现代金融理论中往往引进了效用函数来解决这个问题。

效用函数：υ=υ（μ，σ），这是关于收益和标准差的二元函数。其原理等同于西方经济学消费者行为理论中的无差异曲线。通过这个二元函数来衡量投资者的福利和满意程度。效用函数（曲线）的位置越高，所对应的福利程度就越高。所以标准就是，在满足射线ab约束的情况下能够让效用函数曲线尽量地处于高位置。所以，仍然用相切的办法，将效用函数和ab相切，切点就是投资者的最终投资策略点，如图3。

图3中曲线cd为效用函数曲线，d点为切点，也为投资决策点。不同的理性投资个体根据自己的效用函数，确定d点，最终完成投资组合。问题是效用函数的选择。即采取什么形式，具有什么性质的效用函数来衡量投资者的福利才是恰当的。在投资银行进行投资组合的时候，常用到的效用函数形式有：

U=μ-0.005*A*σ^2

这是一个二次函数抛物线曲线形式。其中A表示风险厌恶程度，因此，对于具有不同风险厌恶程度的投资者，效用函数的曲线形式会随之发生改变。通过这样的方法，金融理论家们希望能达到“因地制宜”的效果。投资者能根据自己的情况完成最终的投资组合决策。

但是，单单的一个效用函数形式，通过风险厌恶程度的变化对投资者的福利进行描述，是比较不精确的。人们的福利受到多方面因素的影响，不仅包括物质的，也包括心理方面的。这些都是很定性的分析因素。而且各个投资者是特别的，不确定因素是很多的。投资结果的某一方面在投资者心中所占的地位也是有差别的。所以在完成最后投资组合的方法上，笔者认为应该做更多的假设、探索和尝试，力求把投资者的福利描述得更精确。在这个步骤上，本文引进了AHP层次分析方法，希望能比较灵活准确地描述福利，更好地做出投资策略。

基于AHP的模型建立与分析

AHP（The Analytic Hierarchy Process）层次分析数学模型， 由著名美国运筹学家，匹兹堡大学T.L.Saaty教授于20世纪70年代初创立的一种决策分析数学模型。它适用于现实中大量存在的无结构决策问题，并以能将定性问题定量化为其显著特点。现已被广泛应用于工程建筑决策、社会经济系统决策等问题。概略地讲，AHP是通过建立决策问题的递阶层次结构，构造递阶层次结构中每层元素对于上层元素重要性程度的比较判断矩阵，利用判断矩阵计算每层元素对于其上层支配元素的权重，最后进行层次总排序，从而得出决策问题备选方案的优劣排序以供决策者进行决策。

具体到本文研究的问题中，建立这样一个向量：（μ，-σ）。该向量的各元素就是所谓的备选方案。投资者期望更大的μ和-σ（即要求该向量各分量越大越好，满足多目标规划向量原理），但对于这两个元素的期望程度，权重情况一般是不一样的。到底各是多少，需要进行比较精确的衡量，本文运用AHP层次分析法来模拟和解决这个问题。

根据各投资者的具体情况，构建决策思维框图，如图4。图4中第一层叫做目标层，中间两层叫做准则层（第三层也叫子准则层），最下面一层是方案层。E1和E2分别对应之前提到的两个元素。准则层中所包含的元素就是各投资决策者关于自身福利所考虑的因素，且下层因素是上层因素的子要素。比如，某个投资者在投资时会考虑到该投资对自己资金流动性的影响，那就可以把流动性作为一个准则层所考虑的要素。各要素之间相互关联，下层元素在对于上层元素的作用中各有其权重。因此，要计算方案层的权重，需要从下往上建立比较判断矩阵。

为求得权重，需要得到每一层两两要素间相对于父元素的重要性之比，并把它们组成比较判断矩阵。如第二层的两元素，B1与B2对于A的重要性之比为：a12=B1/B2显然，a12=1/a21。一般地，aij>0，aii=1。如此得判断矩阵。本文附上Saaty给出的比例标度表（u表示要素），如表1所示。

接着上面提到过的例子，假如该投资者在倒数第二层中设立了考察元素：企业资金的流动性。此元素对应于模块C1（如图4）。备选方案（向量）的两个元素，μ和-σ，对于实现或保证投资者所关心的资金流动性要素中的作用（权重大小），按照比例标度表，自然有一个比较值。若-σ比μ明显重要（显然低投资风险更有利于有充足的流动资金，当然具体的投资者各有其看法），如果选择标度为5，这样就可以形成一个位于最底层的二阶比较判断矩阵，其他的按照相同原理类推即可。

在建立好所有的成对比较判断矩阵之后，对矩阵进行一致性检验（计算矩阵的最大特征根和特征向量等，具体请参阅AHP层次模型的相关资料），然后通过矩阵逐层往上计算权重，以下是Saaty给出的权重计算公式：

假设元素C的两两比较判断矩阵为（aij）n×n=（ a1，a2，...，an）aj 为该矩阵的第j 列。

对于C元素的权重向量为w=（u1，u2，...，un），则

根据这个原则，最终可以计算出方案层元素μ和-σ各自所占的权重（优劣程度），分别为ω1和ω2，且ω1+ω2=1（ω1，ω2需要修正为符号相反）。这样，可以知道投资者在自己的偏好情况下，对于和重要程度的判断。具体的经济意义是：

投资者在做出投资组合选择的时候，是更倾向于尽可能大的μ，还是更倾向于尽可能大的-σ（σ即令尽量小以控制风险），或者实现这两个目标各自在投资者心中的重要程度，本文都可以给出一个更精确、量化、更照顾到个体特殊性的判断。

得出这样的具体权重之后，随之可以构建一个约束曲线。因为对于投资者来说，根据自己的偏好和具体情况，有：

μ/（-σ）=ω1/ω2

变形后为：μ=（-ω1/ω2）*σ，显然，这是一条通过原点的约束条件直线。直线上所有的点都满足根据AHP层次分析法衡量的投资者关于福利的偏好。其上的点，表示投资者按照自己的特殊情况而确定的收益-风险约束。结合到我们最开始得出的最优投资组合边界曲线（上面提到过的射线ab），两条曲线方程相交所得到的点，可以认为是特定的投资者按照自己对于风险-收益偏好，所能达到的最优的投资组合方式（投资策略），如图5。

图中实心点为相交点，也即最终的最优投资策略点。理性的投资者在这点进行一系列风险资产、无风险资产的投资组合，实现自己的最大福利。

在引进了AHP层次分析模型后，能更精确地描述特定的投资个体对于福利的偏好和要求，相对于效用函数，能更贴近现实地构建约束条件，优化投资策略。用效用函数的方法，虽然方法简便，但正因为简便所以描述粗糙而不尽合理。共性强则个性弱。对于市场中的经济人，可变因素是很多的。AHP模型给出了一个分析框架，特定的投资者把自己所考虑的变量和因素应用于该框架模型中，可以得到一个为自己“量体裁衣”的福利约束,在简化性和合理性之间求得折中。

参考文献：

1.兹维•博迪，罗伯特.C.莫顿.金融学[M].中国人民大学出版社，2000

2.曼昆.微观经济学（第3版）[M].机械工业出版社，2006

3.钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社，2005

4.罗宾斯.管理学（第8版）[M].清华大学出版社，2006

5.赫伯特•B•梅奥.投资学[M].中国人民大学出版社，2007