例谈线性规划中的易错点

【摘要】线性规划是运筹学的一个应用较广泛、方法较成熟的重要分支，屡屡出现在高考试卷中，笔者对教学与考试中几个易错知识点进行整理归纳，写下此文，希望对广大同行与学生提供一些参考.

【关键词】线性规划；易错点；归纳整理

线性规划问题是实际生活中常遇到的一类问题，因此常见于各省市高考试卷中.笔者将线性规划教学中学生常见的易错点整理归纳如下，仅供参考.

案例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=（x，y）|x+y≤1x≥0y≥0，求：

（1）若z=x-y，则z的最大值是；

（2）若平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}，则平面区域B的面积为（）.

A.2

B.1

C.12

D.14

错解（1）作出x-y=0的平行线，如图1，发现当过点B时z取最大值-1.

评析因为z=x-y在y轴上的截距是-z，故点A（1，0）才是使z取得最大值的最优解，所以zmax=1.事实上，对于目标函数z=ax+by，b<0时通过作图发现在y轴上的截距与z的最值恰好相反.

错解（2）令a=x+y，b=x-y则0≤a≤1，-1≤b≤1表示的平面区域如图2所示，则面积应等于2.

评析本题中忽略x与y本身的范围，应注意到a+b=2x≥0，a-b=2y≥0，所以约束条件为a+b≥0，a-b≥0，0≤a≤1，-1≤b≤1， 表示的平面区域如图3，所以阴影面积为1，即B的面积为1.

案例2设实数x，y满足x-y-2≤0，x+y-4≥0，2y-3≤0， 求z=y+1x-3的取值范围.

错解因为可行域的顶点分别为A52，32，B72，32和C（3，1），所以-5≤y+1x-3≤5.

评析线性规划问题是数形结合的典范，通过可行域如图4，可以观察得y+1x-3≤-5或y+1x-3≥5.

案例3不等式组y-x≥0，x+y-10≥0，y-3x+6≤0， 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点，求a的取值范围.

错解因为区域D的顶点分别为C（3，3），A（5，5），B（4，6），所以a>1，515≤a≤614， 所以515≤a≤614.

评析画出可行域D如图5，发现可行域并非是封闭的三角形区域，点A（5，5）使a取最小值515，所以a的取值范圍为515≤a.

案例4若实数x，y满足条件y-x≥0，x+y-10≤0，y-3x+6≤0， z=x+yi（i为虚数单位），求|z+1-6i|的最大值和最小值.

错解因为|z+1-6i|可以看作可行域中的点到点（-1，6）的距离，所以画出可行域如图6，分别带入点A（5，5），B（4，6），C（3，3）得出5≤|z+1-6i|≤37，所以最大值37，最小值5.

评析本题错解在于忽视了当由点（-1，6）向直线y-3x+6=0作垂线时，垂足可能在可行域中，事实上垂足72，92恰好在线段BC上，故最小值应为22.5，最大值37.

案例5若实数x，y满足不等式35x+24y≥106，x∈N，y∈N， 求z=140x+120y的最小值.

错解做出可行域如图7所示，因为点A10635，0且由于直线l：z=140x+120y的斜率k=-76>kAB=-3524，可知当直线l向上平移过点（3，1）时z=540，过点（4，0）时z=560，故z的最小值是540.

评析本题的难点在于x∈N，y∈N，对于整点问题可利用“平行移动、代入检验”的方法解决，所以本题中还要考虑x=2，因为35x+24y≥106，故y≥32，所以考察点（2，2）得出z=520；再考察点（1，3）得出z=500；进而考察点（0，5）得出z=600.故本题最优解应为（1，3）时zmin=500.

总评

（1）若约束条件是线性的情况，则目标函数只在可行域的顶点或边界上取得最值；

（2）若求解一些非线性目标的最值或范围，则可依据求解目标的几何意义，利用解析几何的相关知识方法求解.