数值分析注重算法设计技术的教学实践

摘 要:数值分析研究利用计算机解决数学问题的数值方法及其理论,以强化实现能力为牵引,贯彻组合教学和技术教学法,强调数值分析算法设计的缩减技术、校正技术、松弛技术,以算法设计技术为纽带,课堂讲授、课堂讨论、案例教学、网络教学相结合,进行数值分析算法设计技术教学的改革尝试。

关键词:数值分析 算法设计 教学案例 网络教学

中图分类号:G424文献标识码:A文章编号:1673-9795(2012)04(b)-0104-02

现代科学技术的迅速发展,促进了数学理论和方法在科学研究和工程技术领域中的实用。数值分析研究利用计算机解决数学问题的数值方法及其理论[1],重点研究某些适合在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性较好的数值计算方法,主要内容包括“数值代数”、“数值逼近”和“微分方程的数值解法”三方面,综合知识点较多,既有纯数学的高度抽象性、严密的理论性和逻辑性,又有应用的广泛性与实际实验的技术性、近似性,集中体现了逼近(近似)、迭代、离散、外推(松弛)等独特的思想和技术。

传统的数值分析课程主要介绍一些经典的数值算法及其理论,但是有些算法的数值计算过程较为繁琐,通过单一的课堂讲授方式,学员往往只是对算法有一个粗略的概念,而不了解算法的具体实现过程,这在一定程度上导致学员对数值分析教学内容产生畏难和厌烦情绪,不利于学员各方面能力的培养。本文结合算法设计的逼近、迭代、外推(松弛)等技术,在数值分析的教学过程进行一些有益的探讨与尝试。

1 数值分析结合算法设计技术教学的可行性

信息技术与数学课程的整合已成为数学教育改革的热点问题,现代教育技术、信息技术、多媒体技术的快速发展,为学生的学习实验活动和交流构建平台,创设情境,提供丰富多彩的教育环境和有利的学习工具,提供探索复杂问题,多角度理解数学思想的机会,丰富学生学习和研究数学的视野[2]。

科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生了紧密的联系,但实际应用中所导出的数学模型往往不容易求出精确解,只能简化模型或利用其他方法求出近似解,而且所涉及到的运算过程(公式)比较复杂,有些运算过程仅靠一支笔、一张纸或一部计算器是很难迅速完成的。根据数学模型的特点提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果,进而对计算结果进行分析,这一过程就是数值分析或计算数学的主要任务。

本科《数值分析》课程一般安排在三年级开课,学生对本专业基础课程和基本数学知识已有所了解,具有一定的数学素养和计算机编程能力。在教师的指导下,通过具体教学案例的背景介绍与研究分析,学生利用所学的专业基础、数学理论知识和信息技术(主要借助计算机和数学软件),建立数学模型,针对模型选择合适的数值计算方法,并且讨论所研究问题的性态、算法的误差、稳定性、收敛性等。Matlab,Mathematic,Maple,Lingo等常用的数学软件具有强大的数值计算、符号计算和图形处理功能。这些均为数值分析结合算法设计技术的课程教学提供了日趋完善的硬件和软件条件,更多的教学手段和更大的发展空间。

2 数值分析课程的算法设计技术

文献[3]关于算法设计的技术进行详细的介绍,概括起来主要包括以下3种技术。

2.1 规模缩减技术

规模缩减技术是通过某种简单的运算方法缩减问题的规模,直到求出问题的解,目的是通过“简单的重复”解决复杂问题,集中体现了数值分析中逼近和迭代的思想。规模缩减技术的特点是:依据原问题的特点,建立某种形式简单、结构清晰的递归公式使原问题的规模递减。在教学过程中,通过渗透缩减技术,帮助学生理解算法的精髓。

以绪论中秦九韶算法为例介绍规模缩减技术。对给定的x计算多项式pn(x)的值,将多项式的次数规定为多项式求值问题的规模,秦九韶算法通过迭代计算使计算问题规模逐次减1,则经过n步,即可将所给多项式次数降为0,从而获得所求的解。此时只需作n次乘法和n次加法。

显然,求解非线性方程和线性方程组的解的迭代法也是规模缩减技术,将初始值与真解的距离看作问题的规模,则每迭代一步,得到的近似值与真解的距离逐步减少,直至达到要求的精度,迭代结束。

方程求根的二分法也是一种缩减技术,可以将包含根的区间作为问题的规模,运用某种手续逐步压缩含根区间,减少问题规模,直到所求的根满足精度要求为止。解线性方程组的消去法是为了降低方程组的阶数,同样是规模缩减技术的具体应用。

2.2 迭代校正技术

再来看一看求解线性方程组Ax=b的迭代法。给定线性方程组Ax=b的一个初始近似解,希望用某种简单方法确定校正量Δx,使校正值能够较准确地满足给定方程,由于,设为A的某个近似矩阵,则线性方程组Ax=b的近似方程称为校正方程。

校正方程是用于计算校正量的简化方程。校正方程通常要求满足:一是逼近性,它与所给方程是近似的,逼近程度越高,所获得的校正量越准确;二是简单性,校正方程越简单,所需计算量越小。

由校正方程可近似解出校正量,从而校正值相应的迭代公式为。

求解线性方程组的迭代法关键是近似矩阵的选取,要求与A近似,同时利用校正方程求解校正量Δx比较容易。当线性方程组的系数矩阵为对角阵或上(下)三角阵时,方程都比较容易求解。例如可将A分解为A=D L U

其中D为对角阵,L和U分别为严格下三角和严格上三角阵。

若令,相应的迭代公式即为Jacobi迭代公式

若令,即为Gauss-Seidel迭代公式

若令,即为松弛因子为的超松弛迭代公式。

2.3 松弛技术

在实际计算过程中,如果能够取得目标值F*的2个相伴随的近似值F0、F1,如何将它们加工成具有更高精度的结果呢？一种简便而有效的办法是,选取适当的权系数,将近似值F0、F1的某种加权平均值作为新的具有更高精度的近似值,即令:

这种基于校正量的调整与松动的方法,称之为松弛技术。它的特点是优劣互补,化粗为精,较好体现了将复杂过程化为简单过程的重复处理,不同之处在于每一步的松弛因子的选取。要使迭代过程加速收敛,必须根据具体问题使用合适的松弛技术和松弛因子。

数值分析课程的很多内容都体现了松弛技术,最典型的是求数值积分的Romberg方法、解线性方程组的超松弛迭代法、逐次线性插值、迭代加速的松弛技术等等。

3 数值分析结合算法设计技术的课程教学

依据多年的教学实践和经验,在原有的《数值分析》教材的基础上,经过反复研究与探讨,我们重新组织编写了《数值分析(第二版)》教材,2011已经由科学出版社出版。新版《数值分析》教材适当结合当代前沿学科中常用的基本内容和方法,在编排体系和内容组织上更注重紧凑和循序渐进,对精选的内容尽量作详细的论述和推导,对部分定理和结论,仅作叙述,删除了繁杂的证明过程,侧重于算法的构造思想、算法的实现、算法的误差估计、收敛性、稳定性、计算量、以及对算法的改进等等,使得课程教学内容现代化、科学化、合理化。

为了加强教学知识与内容的应用性、数学思想和方法的可操作性以及实用性,针对教学课时不够和学生学习兴趣不高的情形,在教学过程中,强调算法设计的缩减技术、校正技术、松弛技术,并恰当地融入到数值分析课堂教学内容中,再进一步通过上机验证算法,使学生亲身体验到算法的优劣以及如何改进算法,提高学生学习算法理论的兴趣,开拓学生视野,活跃学生思维。

充分发挥信息技术,多媒体技术的优势,加强有关数学软件的教学,算法设计与软件实现相结合,以强化实现能力为牵引,结合数学建模,进行案例式教学。通过教学案例、训练、实验等各种方式,在解决实际问题的同时,也给数值分析课程教学带来了活力,在一定程度上消除了学生对数值分析教学内容的畏难和厌烦情绪。

加强网络教学资源建设,建立《数值分析》网络课程,借助大学校园网的网络教学应用系统这个教学平台,实现网上实时教学、布置作业与测验、在线答疑、在线交流、在线自学等功能。通过网络教学,学生选择学习内容,进行探究性的自主学习,变“被动型”学习为“主动型”学习,培养实践能力和创新意识,加强师生之间的互动,也促进师生之间、学生之间的情感交流与合作意识。

4 结语

在教学过程中,以强化实现能力为牵引,贯彻组合教学和技术教学法,强调数值分析算法设计的缩减技术、校正技术、松弛技术,以算法设计技术教学为纽带,课堂讲授、课堂讨论、案例教学、网络教学相结合,让学生体会到数值分析课程的学习内容不是毫无生气的数学公式,而是实实在在的可以解决实际问题的算法。激发学生对学习数值分析内容和过程产生强烈的兴趣和需要,培养学生对数学知识、数学方法的应用能力以及解决实际问题的能力。

参考文献

[1]何汉林,李薇,王天虹.数值分析[M].北京:科学出版社,2011.

[2]杨雯靖.高等数学教学改革研究与探索[J].高等理科教育,2008(1):41～43.

[3]王能超.计算方法[M].北京:高等教育出版社,2005.