用边界粒子法求解柯西反问题的数值计算软件包

摘要： 为推动无网格方法在反问题中的应用及相关计算软件的发展，介绍基于MATLAB开发的用边界粒子法（Boundary Particle Method， BPM）数值模拟柯西反问题的计算软件包；描述数值算法的理论基础，并结合标准算例介绍软件包的基本功能和使用方法. 该软件包可求解含不同形式源项（多项式函数、三角函数、指数函数及其耦合函数等）的椭圆型偏微分方程，并且可用于处理任意几何区域问题. 本软件包具有简单易用的图形用户界面，在数值模拟柯西反问题时仅需边界测量数据，且效率高、精度高.

关键词： 柯西反问题； 无网格方法； 正则化方法； 椭圆型偏微分方程； MATLAB

中图分类号： TB115.7文献标志码： B

引言

柯西反问题广泛存在于实际工程中.通过测量或理论分析仅得到一般问题的控制方程和部分边界条件，需要求解未知边界或域内的物理量.由于该问题的解不连续依赖于已知的边界条件，其数值解的计算相当困难.[12]目前，求解此类问题的数值方法主要有有限差分法、有限元法、有限体积法和边界元法[3]等.在计算反问题上，边界型数值算法比区域型方法（如有限元法）有特殊的优势，这是由于实际工程中的可测数据一般分布在物理边界或表面上；采用区域型方法则需要在整个求解域上进行离散.边界元法作为一种典型的边界型方法，在计算反问题上应用广泛，然而边界元法选用含奇异性的基本解作为插值基函数，不可避免地需要处理费时费力的奇异积分计算问题.

上述方法均基于网格近似，在分析移动边界、高维复杂边界形状问题时存在网格（包括边界网格）生成难题.最近几十年发展起来的无网格方法基于点的近似，克服网格依赖的缺陷，减少因网格畸变引起的计算困难[47]；CHEN[8]提出一种新型的边界型无网格法——边界粒子法（Boundary Particle Method，BPM），基于递归复合多重互易技术（Recursive Composite Multiple Reciprocity Method，RCMRM），并运用插值矩阵的性质，采用递归技术，极大地减少计算量和存储量[9].该方法无须积分，只需边界布点，计算简单，编程容易；即使在计算非齐次方程的反问题时，也不需要内部布点，是纯粹的边界离散方法，特别适用于计算反问题.

目前，边界粒子法已被成功应用于数值计算含常见内部源项的Poisson方程和Helmholtz方程的柯西反问题.[1011]为方便研究人员运用边界粒子法求解柯西反问题，开发出边界粒子法求解柯西反问题的数值计算软件包.该软件包以边界粒子法为理论基础，求解物理力学中几类非齐次椭圆型算子偏微分方程的柯西反问题，具有数学理论简单、收敛速度快、仅需边界离散等优点，可以求解含不同形式源项（多项式函数、三角函数、指数函数和耦合函数等）的椭圆型偏微分方程，并且可以求解任意形状的单连通区域问题.