CIR—CKLS—Jump利率波动模型与商业银行隐含期权定价

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摘要：以经典CIR和CKLS利率波动模型为基础，结合利率跳跃扩散理论，构建出CIR-CKLS-Jump利率波动模型，采用对偶变量方差减少技术蒙特卡洛模拟方法对商业银行存贷款隐含期权进行定价。结果表明，CIR-CKLS-Jump利率波动模型能较好地模拟现实数据的变化过程，且商业银行存贷款隐含期权值均处于实值状态。在利率完全市场化的情况下，商业银行在开展存贷款业务时若能充分考虑隐含期权价值，将提高银行利率定价能力，减少利率风险。

关键词：利率市场化；CIR-CKLS-Jump利率波动模型；隐含期权；蒙特卡洛模拟

文章编号：1003-4625（2015）03-0094-07 中图分类号：F832.33 文献标识码：A

随着我国利率市场化的推进，利率管制逐渐放开，商业银行在获得利率自主定价的同时，也承担着利率波动带来的风险。从某种意义上说，商业银行定期存、贷款合约中的存款人和贷款人可以选择提前执行合约的权利，是一种隐含期权。若存款者由于利率的变动而提前终止定期存款合约，当提前支取的存款达到一定数额，商业银行将面临资金的流动性风险。若贷款者由于利率的变动而提前终止定期贷款合约，当提前还款的资金达到一定数额时，商业银行将面临资金的再投资风险。在利率管制的情况下，利率变动的幅度和频率由中央银行决定，商业银行隐含期权所带来的风险可以忽略不计。但在利率全面放开的情况下，利率变动完全由市场决定，商业银行在对自身存贷款业务利率水平定价时，若没有充分考虑隐含期权的价值，将面临由于利率频繁波动而带来的巨大损失。当前我国贷款利率已全面放开，存款利率在一两年内也将实现市场化。然而，当前商业银行在对各种金融产品（包括各种定期存款、抵押贷款、按揭贷款等）进行定价时，都未能充分考虑隐含期权的价值，致使存贷款的定价过低。随着利率的不断放开，隐含期权已成为引发商业银行利率风险的重要原因之一。因此，对商业银行隐含期权定价的研究具有十分重要的现实意义。

一、文献综述

Gup、Brooks（ 1995）最早对隐含期权进行了研究，认为由于贷款的提前还款与存款的提前支取会改变银行的资产、负债敞口，从而导致银行的利率风险，这种风险被称为隐含期权风险。同时，Brooks、Gup （1999）在研究了金融机构持有隐含期权头寸对金融机构利率的影响后指出：忽视隐含期权的影响会导致各种存在久期敞口的金融机构的股东权益减少。随后，James H.Gilkeson、Gary E.Porter等（2000）对隐含期权的定价进行研究后，指出在一定的提前支取期权定价假设下用存款凭证CD作为研究对象，提出了期权定价理论的可测试的结论。国内对银行隐含期权的研究相对较晚，郑振龙、林海（2004）利用金融工程学的基本原理提出了银行资产负债中隐含着期权的全新观点，并对隐含期权进行了分解，用无套利分析和数值计算两种方法对隐含期权进行了定价。易传和、刘炼（2007）依照利率管理的一般特征，对隐含期权利率风险的识别、衡量和控制进行分析后，得到银行的存款业务和贷款业务都普遍存在隐含期权的结论。

影响商业银行隐含期权行使的原因是多方面的，利率变动是其中最主要的原因之一。隐含期权的价值随利率的波动而变化，因此对利率期限结构的研究是隐含期权定价的基础。Merton（1973）最早提出短期利率波动的布朗运动模型。Vasicek（1977）提出的Vasicek模型是众多利率期限结构中最简单的一个，该模型假设所有的参数都是不随时间变化的常数，利率波动过程服从正态分布，不考虑利率水平对波动率高低的影响以及波动率本身的GARCH效应。Vasicek模型能够较好地拟合现实数据，模型导出即期短期利率的运行遵循“均值一回复过程”，但是该模型违背了远期利率的有限性和波动差异性。Cox、Ingersoll和Ross（1985）在Vasicek模型继续保持均值回归特点的基础上提出CIR模型，将波动率参数设定为瞬时利率增函数，使模型特点与现实中的利率波动行为较为一致。Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders（1992）进一步提出了更为通用的CKLS模型。然而，Das（2002）研究发现，由于金融市场本身的复杂性和不确定性因素的存在，因而利率价格的变化表现出一定的跳跃性。Johannes（2004）对一般的利率期限结构漂移模型进行了分析，发现这些模型无法产生同历史数据相符合的分布，并在此基础上提出了跳跃因素。Li Zhou、JinlinLi等（2005）通过实证研究利率期限结构，发现当描述利率的随机行为时，包含跳跃因素的跳跃——扩散模型比纯粹的扩散模型更能解释现实中利率运动。

商业银行隐含期权是一种复杂的期权，因此，相对于普通期权其定价方法更为复杂。目前学术界主要有三种方法估计隐含期权的价格：无套利分析法、解析模型法和数值分析法。无套利分析法使用相同等级的债券定价隐含期权，方法上比较容易，但其对于相同信用等级的定性较主观，不适用于精确定价。解析模型法是基于B-S方程式的扩展与衍生，计算复杂，且PDE方程有效边界制约因素较多。数值分析法主要包括网格分析技术和蒙特卡洛模拟方法。由于网格方法无法包容现实中隐含期权的很多具体特征、模型的收敛速度较慢且波动性较强，因此很多学者采用蒙特卡洛模拟方法对银行隐含期权定价进行研究。自Boyle（1977）首次将蒙特卡洛方法运用于衍生证券的定价中以来，该方法已被应用于金融分析与金融工程的各个方面。Boyle、Broadie和Glasserman（1997）对该方法进行了系统阐述，使得蒙特卡洛方法成为现代金融衍生工具定价的一种有效数值分析方法。Grant、Vora和Dwight（1997）将具有后向搜索特征的动态规划思想融入蒙特卡洛方法框架中，比较准确地辨认和确认美式期权的可执行条件，从而有效地解决了美式期权的估值问题。夏和平、周茂彬等（2007）在构建存贷款基准利率跳跃模型后，采用蒙特卡洛模拟方法对隐含期权存贷款进行数值定价和风险度量，并基于久期一凸性缺口模型研究存贷款业务中的隐含期权对我国隐含利率风险的影响。刘凤琴（2009）采用蒙特卡洛模拟方法，对基于CIR-Jump利率波动模型的商业银行隐含期权值进行了定价。

本文在梳理前人文献资料的基础上，首先构建出更能拟合现实市场利率波动特征的CIR-CKLS-jump动态利率波动模型，然后在该利率波动模型的基础上运用对偶变量方差减少技术的蒙特卡洛模拟方法对银行存贷款隐含期权的期权值进行定价。最后得出结论并提出相关建议。

二、存贷款利率隐含期权的执行边界分析

对银行发放的定期存款而言，银行允许存款者在存款到期日之前可以以某一价格提前收回现金，实际上相当于银行向存款人出售了一个存款利率的美式看涨期权。同样，对于银行发放的贷款而言，银行允许借款人在借款到期日之前以某一价格提前偿还借款，实际上相当于银行向借款人出售了一个贷款利率的美式看跌期权（刘凤琴2013）。可提前偿付存贷款中的隐含期权可被视为一种复杂的利率衍生产品，根据郑振龙、林海（2004）的研究，可将银行资产负债中的隐含期权进行分解，并给出存贷款隐含期权的执行边界和期权定价公式：

定期存款利率隐含期权执行条件为 ，期权执行价格为 ，隐含期权值为：

该期权表示一个利率的看涨期权。其中，C为期权的价值，r为无风险利率，t为执行期权的时刻，T为定期存款合约期限， 为合约利率， 为活期利率， 为在t时刻重新签订的存款合约中规定的新利率。假设投资者的投资期间不变，为0—T，如果投资者提前支取定期存款并以新的利率 转存的总收益大于继续持有该存款合约，其中t期前的利息以活期利率 计算，则存款者会选择执行此期权。否则，存款者将继续持有该存款合约，放弃执行期权。

定期贷款利率隐含期权执行条件为 ，期权执行价格为 ，隐含期权值为：

该期权表示一个利率的看跌期权。其中，C为期权的价值，r为无风险利率，t为执行期权的时刻，T为定期贷款合约期限， 为合约利率， 为提前偿还贷款违约金， 为在t时刻重新签订的贷款合约中规定的新利率。假设投资者的投资期间不变，为O～T，如果投资者提前偿还贷款并缴纳违约金的总成本小于继续持有该贷款合约，则贷款者会选择执行此期权。否则，贷款者将继续持有该贷款合约，放弃执行期权。

对存贷款隐含期权分解后，发现传统的存贷款合同可被分解为标准美式期权与固定债券的组合，其中隐含期权具有美式期权的所有性质，其提前执行与否取决于存贷款利率的变化，且不受时间限制，在合约到期前任意一时间均可行使其权利。且随着时间的不断推移，期权执行的可能性不断下降，隐含期权的价值也将不断降低。

三、CIR-CKLS-Jump利率波动模型的构建

采用蒙特卡洛模拟方法进行隐含期权估价的核心是进行大量利率情景制造，模拟所有可能发生的利率路径，隐含期权的价值则是所有利率路径上的隐含期权价值依据发生概率的加权平均。因此，需要构建出符合实际情况的利率波动模型。

Cox、Ingersoll和Ross （1985）提出的CIR模型是学术界和实际应用中最著名的利率模型，CIR模型产生于经济中的内在实际变量和总体均衡，包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补偿的因素和众多的投资选择，因而能较好地反映实际市场的利率变化。CIR模型的期限结构可以表示为：

其中， 是正的常数，B（t）是定义在概率空间 上的标量布朗运动。

CKLS模型由Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders（1992）提出，该模型是CIR模型的扩展，其期限结构可表示：

该模型与CIR模型最大的不同是p不是固定等于1/2，所以，该模型在模拟实际利率的变化时更具有灵活性。

杨娜（2010）总结了CIR与CKLS利率波动模型的优点，在此基础上提出了扩展的CIR-CKLS利率波动模型，并证明了该模型非负解存在的唯一性、模型均值的回复性和解的有界性。该模型的期限结构为：

现实中，由于宏观经济政策的实施（如我国中央银行对利率的管制调整）以及市场不确定因素的存在，因此在一段时间内，利率的变化并不是连续的，而是会出现一些跳跃现象。利率的连续扩散模型从Merton模型、Vasicek模型、CIR模型到CKLS模型在利率的非负性、均值回复特性等各方面均已发展成熟，但是基于纯扩散模型的模拟数据在与现实数据的拟合中仍存在差距，特别是无法拟合现实利率的跳跃特性。因此，本文在扩展的CIR-CKLS利率波动模型的基础上加入跳跃项，构建出CIR-CKLS-Jump利率波动模型，以更好地解释由一些不可预测的随机事件而造成的利率波动的非连续性变化。该利率模型的期限结构为：

其中，跳跃部分 ，表示利率的跳跃幅度；P～P（ ），表示利率的跳跃频率。

四、实证分析

（一）数据来源

由于对连续时间短期利率模型一般采用欧拉离散化方法进行估计，为减少时间不连续所带来的模型误差，需要采用取样间隔非常短的利率即瞬时利率来估计模型，但由于现实金融市场中并不存在这种利率，因而需要采用市场上存在的其他短期利率来近似替代。根据相关性、平稳性、交易量三个标准，本文选取中国人民银行自1990年4月15日至2014年11月22日所公布的存款基准利率以及1989年2月1日至2014年11月22日所公布的贷款基准利率为样本数据，对我国商业银行存贷款利率隐含期权定价进行研究。

（二）CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验

本文对CIR-CKLS-Jump利率期限结构模型的参数估计主要采用马尔科夫链蒙特卡洛估计方法（MCMC）。MCMC方法是目前对含有随机波动和跳跃因子模型进行估计的最优方法。该方法将马尔科夫过程引入到蒙特卡洛模拟中，采用动态抽样方法，克服了传统蒙特卡洛模拟的高维概率分布难抽样的缺陷，提高了估计精度，是一种完全模拟方法。其基本思想是，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。MCMC方法可以在不知道参数后验分布精确形式的情况下预测隐含变量，且能够处理数据缺失问题 。该方法不依赖于初始值和初始分布，通过不断地模拟估计，最终会趋于稳定的分布。这对于CIR-CKLS-Jump利率波动模型的稳定性和参数估计的精确性给出了保证。利率模型的检验主要通过比较不同利率模型模拟的结果与现实利率的离差值大小进行判断。

本文使用openbugs软件对CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行MCMC参数估计，首先需要得到所求利率R（t）的概率分布。

对式（6）进行Euler离散化，其中， ，离散结果为：

由于△R（t）=R（t）一R（t一1），则进一步可以得出R（t）与R（t-l）的关系式：

由于￡，服从于标准正态分布，因此可以得到利率R（t）的分布情况：

为简化计算，取△t=1，则R（t）分布为：

根据R（t）的分布，使用openbugs软件编程进行MCMC参数估计。各参数估计结果如表1、表2所示。

1.定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验

以5年期定期存款基准利率为估计样本，通过MCMC方法对定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行参数估计，迭代50000次后得到各参数的迭代轨迹如图1。

图1可以看出，各参数迭代轨迹从一开始就趋于平稳，所以未舍弃任何燃烧期。最终得出各参数的估计值，如表1所示。表1存款利率模型参数估计值图1 5年期定期存款基准利率模型各参数模拟轨迹

因此，可确定5年期定期存款基准利率迭代式为：

对存款利率模型（11）离散化处理，取△t=1个月，模拟在当前初始利率状态下，经过n年即12×n个月的时间后，利率可能经过的路径。图2是对一条利率的5000次模拟。可以看出，利率在0.0495处上下波动，表现出强烈的均值回复性，利率波动最大值为0.06左右，最小为0.041左右，模拟5000次未出现负值，与现实利率波动情况拟合较好。

进一步与刘凤琴（2011）给出的存款CKLS-Jump利率波动模型进行比较，该模型给出的利率期限结构模型为：

以5年期定期存款基准利率为例，将存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型（11）与存款CKLS-Jump利率波动模型（12）分别进行10000次模拟，将各期的利率值与现实中的数据（现实数据取1990年4月15日到2012年7月6日间33个5年期定期存款基准利率平均值）进行比较，通过比较两者的离差绝对值大小反映与现实利率的拟合程度。

如图3所示，虚线表示CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹，实线表示CIR-CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹。使用蒙特卡洛模拟运行10000次之后发现（两者均已趋向于平衡），CIR-CKLS-Jump利率波动模型比CKLS-Jump利率波动模型的离差值小得多，其中CIR-CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.0128，CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.054。说明存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型能更准确地描述现实存款基准利率的波动。利率波动模型离差值比较表2贷款利率模型参数估计值

2.定期贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验

以5年以上中长期定期贷款基准利率为估计样本，通过MCMC方法对定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行参数估计，迭代50000次后得到各参数的迭代轨迹如图4。

图4可以看出，各参数迭代轨迹从10000次迭代后趋于平稳。最终得出各参数的估计值，如表2所示。

因此，可确定5年以上中长期定期贷款基准利率迭代式为：

对贷款利率模型离散化处理，取 t=1个月，模拟在当前初始利率状态下，经过n年即n×12个月的时间后，利率可能经过的路径。图5是对一条利率的5000次模拟。可以看出，利率在0.05836处上下波动，表现出强烈的均值回复性。利率波动最大值为0.105左右，最小为0.04左右，模拟5000次未出现负值，与现实利率波动情况拟合较好。

进一步与刘凤琴（2011）给出的贷款CKLS-Jump利率波动模型进行比较，该模型给出的利率期限结构模型为：

图5基于CIR-CKLS-Jump模型的5年以上

中长期定期贷款利率波动路径模拟结果

以5年以上中长期定期贷款基准利率为例，将贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型（12）与贷款CKLS-Jump利率波动模型（13）分别进行10000次模拟，将各期的利率值与现实中的数据（现实数据取1989年2月1日到2012年7月6日间39个5年以上中长期定期贷款基准利率平均值）进行比较，通过比较两者的离差绝对值反映与现实利率的拟合程度。

如图6所示，虚线表示CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹，实线表示CIR-CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹。使用蒙特卡洛模拟运行10000次之后发现（两者均已趋向于平衡），CIR-CKLS-Jump利率波动模型比CKLS-Jump利率波动模型的离差值小得多，其中CIR-CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.0303，CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.069。说明贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型能更准确地描述现实贷款基准利率的波动。图6 贷款CIR-CKLS-Jump与CKLS-Jump

利率波动模型离差值比较

（三）基于CIR-CKLS-Jump利率波动模型的银行隐含期权定价

蒙特卡洛模拟的实质是通过随机抽样的样本均值来近似代替随机分布的总体期望值，从而得到对随机分布数学期望的实际估计的数值分析方法。其基本思想是首先在风险中性测度下模拟利率在有效期内的波动路径，然后计算出每条模拟路径上的隐含期权价值，最后对所有模拟出的样本路径上的相应期权值求平均值并得到隐含期权的估计数值解，该数值解随着模拟次数的增多而不断逼近解析解。本文通过Matlab对CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行模拟，并采用对偶变量方差减少技术的蒙特卡洛模拟方法对银行存贷款隐含期权进行定价。

1.存款中隐含期权定价

模拟计算出每条利率波动路径上的隐含期权价值并求得平均值，根据大数定理，当模拟次数足够多时，样本均值即可近似于所求样本期望值。

利用Matlab对存款中的隐含期权进行对偶变量方差减少技术蒙特卡洛模拟，得出存款利率的隐含期权价值，如图7所示。图7存款中银行隐含期权定价的蒙特卡洛模拟

模拟运行3000次以内时，存款隐含期权值波动较大，且不稳定，运行超过6000次后期权值趋于稳定，最终期权值为0.002967。根据无套利定价理论，商业银行5年期存款利率应为：5年期定期存款基准利率一隐含期权价格，即0.0475-0.002967=0.044533。

2.贷款中隐含期权定价

模拟计算出每条利率波动路径上的隐含期权价值并求得平均值，根据大数定理，当模拟次数足够多时，样本均值即可近似于所求样本期望值。

利用Matlab对贷款中的隐含期权进行对偶变量方差减少技术蒙特卡洛模拟，得出存款利率的隐含期权价值。对贷款中隐含期权价值进行模拟，由于各银行对提前还款需支付的违约金要求不同，为综合考虑，取大型国有银行通用违约金计算方法和计算均值，即收取提前还款金额的4%作为违约金。最终计算出隐含期权价值，如图8所示。

图8贷款中银行隐含期权定价的蒙特卡洛模拟

模拟运行6000次以内时，贷款隐含期权值波动较大，且不稳定，运行超过7000次后期权值趋于稳定，最终期权值为0.00052。根据无套利定价理论，商业银行5年以上中长期定期贷款利率应为：5年以上中长期定期贷款基准利率+隐含期权价格，即0.0655+0.00052=0.06602。

五、结论与建议

随着金融改革的深化，利率市场化也在不断推进，利率市场化在提高金融市场活力和效率的同时，也使得商业银行面临着更加严重的不确定性，给商业银行带来了极大的风险。本文以5年期定期存款基准利率与5年以上中长期定期贷款基准利率为研究对象，构建出更符合利率市场波动的CIR-CKLS-Jump利率动态波动模型，并在此基础上采用对偶变量方差减少技术的蒙特卡洛模拟方法对商业银行隐含期权进行了定价。研究得出：

（1） CIR-CKLS-Jump利率动态波动模型在描述利率波动过程中表现出了较明显的均值回复性，且与现实数据实现了较准确的拟合，能够更好地模拟现实利率的变化过程。（2）当前我国商业银行存贷款存在隐含期权，且为实值，这与叶志强、陈习定等（2011）的研究结论基本一致。其中5年期定期存款基准利率期权值为0.002967，5年以上中长期定期贷款基准利率期权值为0.00052。

利率市场化使利率风险的管理处在了更为重要的位置，隐含期权的存在增加了市场利率风险也提高了商业银行利率定价的难度，本文在前人研究的基础上进一步揭示了利率波动规律，通过计算机模拟并估计出了商业银行5年期定期存款和5年以上中长期定期贷款隐含期权价值。在利率完全市场化的情况下，我国商业银行在开展存贷款业务时若能充分考虑隐含期权的价值，将有助于降低商业银行的利率风险，提高利率定价能力。