基于Mathematica的航天器轨道理论可视化教学

[摘 要]为了激发学生学习航天器轨道理论的主动性，深化对轨道力学新概念的理解和掌握，文章基于轨道力学课程的领域特征与内容特点，探究了科学计算软件Mathematica对该课程学习的巨大助力。Mathematica软件以其先进的可视化和交互功能，为学生学习航天领域课程开辟了新的途径。将Mathematica融入教学步骤，可以培养学生主动探究、积极动手、问题导向、潜心钻研的学习习惯，并保证教学过程的每一步都及时进行实例仿真和动态演示，使学生在加深课堂印象的同时，建立对新概念的正确直觉，形成对知识真正的个性化理解，获得对该学科的积极体验与情感。

[关键词]Mathematica； 轨道力学；数值仿真；交互体验

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2019）05-0107-03

航天器轨道力学是我校航天学院本科生的一门重要专业基础课，也是航天测控、航天器应用等领域需要了解与掌握的基础课程。该课程主要讲授二体问题的运动方程、轨道根数及其关系、星地空间几何转换、受摄运动、轨道控制和星座设计等内容。在当前轨道力学技术领域，一个主流的趋势便是采用虚拟仿真和可视化的方法去研究、分析复杂的轨道力学问题，获得对关键问题的深刻见解，催生极具创新性的全新思路。因此在本学科专业的教学实践中，仿真实验、实际操作的地位更加重要，脱离了这些教学条件，便会严重制约学生对当今航天技术知识的掌握程度。为了提高学生的学习兴趣，激发学生的创造性，笔者所在课程组尝试了以 Mathematica 环境为教学平台，对已有教材中的所选内容进行深度加工和处理，加大可操作性实例的比例，增加情境感较强的典型例题。同时，注重知识点的可应用性和知识范围的广度。在以上背景下，我们充分利用Mathematica科学计算软件所集成的多种现代化科学技术手段，探索和实践可视化教学方法在航天器轨道力学专业教学中的崭新应用，构建航天器轨道理论的仿真教学环境和交互式CAI课件，以更加立体直观的方式呈现课程的学习难点，增强学生的学习兴趣和创新思维能力。

一、Mathematica简介

Mathematica是目前世界上应用广泛的软件计算系统。该软件博采众长，拥有一套完整、简单易学的交互式可视化操作方式。作为把计算机、数学建模、数值计算、数据处理和实际问题有机结合的一种高效工具，它开辟了联系实际问题进行科学计算的途径。目前不少大学将Mathematica作为理工科学生入校必修的计算机课程之一，同时，Mathematica也是数学建模和仿真实验课程最常用最经典的工具。Mathematica给几乎所有的科学研究专业领域提供了强有力的支持，因此当前迫切需要紧跟前沿趋势。在本科生中开设以Mathematica作为仿真与实验基础的课程，不仅对学生专业课程的学习提供巨大助益，对学生将来从事科学研究工作也具有重要意义。

二、利用 Mathematica改进课程教学方法

针对航天器轨道理论课程自身的特点，我们本着“重概念、重应用、重演示、重交互”的课程建设原则， 从紧扣培养目标、理顺课程体系、突出直观理解、传授设计思想等几个方面入手，摸索出一条以演示说明概念、以特点理解应用、以实验加深理解的课程建设新路子。具体来说，主要有以下几个方面。

（一）科学分析学生特质及专业要求，进一步推动教学内容与教学方法的改革

我们将问卷调查和访谈作为主要的他说方式，对学生的专业知识结构与学习需求进行了认真细致的调查和分析，进一步深入了解和探索学生的知识储备、年龄特征和学习诉求。在组织和整理相关教学内容时，充分结合学生的个人特点以及专业技术前沿、实践工程案例，借助Mathematica仿真技术，打造和构建更加接近现实应用环境的教学情境。在实验教学中，将各种先进的多媒体工具进行有机融合，进一步提高教学效果。

（二）探索将航天器轨道力学抽象的知识直观化、形象化的途径，制订具体的教学方案，辅助学生观察和理解

从课程实际内容来看，部分轨道力学的专业知识不仅抽象晦涩，并且存在复杂的空间逻辑和数学逻辑，如二体轨道6个根数的意义和摄动演化特征、惯性系与旋转系下卫星轨道的相互关系等，如果只依靠教师的语言描述和一些简易的静态图形图表就无法充分有效地表达知识点的内在特性。然而借助Mathematica仿真技术，教师可以设计出高度逼真的虚拟情境，并将其应用于课程教学之中，这样不仅可以提供直观、形象的知识对象，而且可以加深学生对重点知识的理解和掌握。

（三）探索将学生由学习被动者转为学习主动者的多种途径，提高学生的参与意识和实践能力

基于Mathematica的可视化交互能力，我们设计了具备良好效果的交互界面和接口的仿真课件，使学生可以参与操作和演示，并且可以实时修改仿真参数，调节仿真过程并观察运行结果，针对重点、难点内容可反复揣摩。与此同时，高年级的学生由于其本身已经具备一定的科研能力与学习能力，因此，可以在课程教师的循循引导下自主成立兴趣小组，以小组为单位尝试进行仿真课题的设计和研发等工作。笔者在教学实践中发现这种方式很受学生的欢迎，效果良好，于是进一步优化了兴趣小组的高效教学与组织形式，推广和发展了这种主动式学习途径。

（四）践行CAI课件的新型制作方法，培养活跃的课堂模式，以丰富的展示内容激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性和主动性

Mathematica具有强大的图形表现力，使得仿真课件可集实时仿真计算、声音视频等多媒体特点于一身，为学生创造了图文并茂、翔实有趣的虚拟仿真环境，充分体现课程内容的趣味性和直观性，能够调动学生学习的主动性和增强学生的课堂主人翁意识，从而避免了以往教学中由知识晦涩难懂所造成的課堂沉闷等现象。

三、Mathematica仿真课件应用实例

我们充分结合教学内容设计实验仿真课件，以学生为主体，以问题为载体，以Mathematica为工具，通过实验让学生自己探索并发现轨道动力学规律，证明结论，并进行推广和模拟检验，使学生能加深对抽象的数学概念的理解。

（一）基于Mathematica的航天器轨道机动的互动实验教学

轨道机动是使航天器从一个轨道转移到另一个轨道上的基础动作，需要在轨道变动时进行发动机点火，为航天器提供动力。由于轨道机动涉及变轨前后多种三维空间轨道，学生必须对这种轨道构型有充分的认识才能掌握轨道机动的关键约束，我们基于Mathematica在二体轨道可视化的基础上，通过在某一点实施三维速度矢量的改变来实现变轨的可视化，如下图所示。

以不同颜色和不同线形代表机动前和机动后的轨道，箭头指示航天器机动方向，通过该互动仿真界面，可以对时间、轨道根数、机动等参数分别进行调整，并实时计算和显示出轨道仿真结果，学生可以亲自动手体会轨道机动的实施效果，通过鼠标随意调整三维观察的视角。通过这种易于上手的交互实验，学生能够迅速获得轨道机动的直觉体验，总结出优化的轨道机动策略。

（二）航天器在旋转坐标系下的动力学

圆限制性三体问题（CRTBP）动力学模型是深空探测领域的重要基础性理论框架，对其进行研究、分析，不但能使动力学模型由非自治系统简化为自治系统，而且能使原问题中的许多重要特征变得清晰明了。由于旋转坐标系是一种典型的非惯性坐标系，在这种坐标系下研究航天器运动规律会出现许多与人们日常经验相违背的现象。学生初次学习时能够明确辨别旋转系与惯性系的异同和联系，这对于帮助学生正确建立旋转系下新的理解和直觉模式具有十分重要的意义。我们通过Mathematica互动实验的途径引导学生正确理解旋转坐标系下航天器所遵循的动力学原理，并尝试澄清由惯性坐标系的定式思维所带来的一些错误认识，为后续学习拉格朗日点、运动禁止区、月球及深空探测轨道等打下基础。

下图展示了我们设计的系列课件，采用化整为零、消化分析的方法帮助学生理解旋转坐标系下动力学方程中各项的物理内涵。

接下来，我们利用所设计的动态交互课件，综合旋转坐标系下动力学方程三项加速的共同作用，同时将航天器在惯性系和旋转系下的轨迹动态显示出来，并且在旋转系随时间旋转的同时，该坐标系下的轨迹也同步跟随旋转，学生可以认真观察和体会轨迹随着时间的演化在两种坐标系中的形成过程，这种过程在传统课堂上是无法向学生直观展示的。借助于Mathematica强大的交互性能，学生可研究各种航天器轨道（如圆轨道、椭圆轨道、双曲轨道以及混沌轨道）在旋转系下的构型和形成过程，随意设置初始状态、时间和旋转角速度，即时观察对轨道构型的影响。

（三）航天器星下点轨迹的可视化

在轨道力学课程中，星下点轨迹作为展示航天器飞行路径的有效方式，可以表示航天器飞行投影下的地面轨迹。所有星下点串连而成的曲线就是星下点轨迹。随着航天器轨道设计的不同，其对应的航天器的星下点轨迹会有所不同。如地球静止轨道卫星，它的星下点轨迹是一个点，但是地球同步轨道卫星的星下点轨迹是一个“8”字形，这个“8”字的交叉点位于赤道之上。一般的课程教学远远不能达到让学生加深理解的程度，当航天器做更为复杂的飞行运动时其所形成的星下点轨迹就更难理解了。使用Mathematica可以充分利用三维可视化技术，以更加生动活泼的方式显示出航天器绕地球转动的飞行情况，便于学生掌握航天器星下点轨迹的形成过程。下图是我们实现的航天器星下点轨迹可视化仿真，它能更直观地说明以上观点。

四、结论

为了让学生增强学习的主体意识，深化对轨道力学新概念的理解和掌握，我们根据课程的内容特点，基于科学计算软件Mathematica的先进可视化和交互功能，采用启发探究、演绎推导、分部剖析、综合推广等教学方法，着重培养学生分析、解决问题的能力以及良好的学习品质，并在教学过程的每一步都及时进行实例仿真和动态演示。这样能够在加深学生印象的同时，使学生建立对新概念的正确直觉，使师生之间保持有效互动，帮助学生获得对该学科的积极体验与情感。

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[责任编辑：庞丹丹]