涉及多边形数的高考题的再探讨

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）42-0143-02

1.真题背景

毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，他们的思想在从几何向数论转移，已经有了数论的雏形。如今多边形数已经走入高中数学课本，出现在高考数学试卷上。之前我探过一道涉及多边形数的高考题[1]，最近在整理历年高考题的过程中，发现湖北省2009年理（文）科高考第10题也跟多边形数中的平方三角形数有关（既是k边形数又是正方形数的数即为平方k角数）。由于平方三角形数的历史文化悠久，它最早可以追溯到阿基米德的群牛问题，在解决的过程中还与佩尔方程（形如x2-Dy2=±1的二元二次不定方程叫Pell方程）有着密切的关系。本文受此高考题启发，探讨了找出平方三角数、平方六角数的一般方法。

2.真题再现

2009年湖北高考理（文）科第10题

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

图1

图2

他们研究过图1中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，……这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A.289B.1024C.1225D.1378

考生可以根据图形找出规律，运用数列相关知识得出第n个三角形数为 。第n个正方形数为n2。首先排除D选项，因为1378不是完全平方数，然后就判断1024没有奇因数，因此 ≠1024排除B选项，因为289=172，而289的因数只有1.17.289，因此289≠ ≠ 排除选项A。剩下1225=352= = 于是正確选项是C。

3.定理补充

定理1[2] 设D是一个正整数且不是一个完全平方，则方程

x2-Dy2=1 （*）

有无限多组整数解x，y，设x02-Dy02=1，x0>0，y0>0，是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那组解（x0，y0叫作（*）式的基本解），则（*）式的全部解x，y，由x+y =±（x0+y0 ）n表出，其中n是任意整数。

定理2[2]设D是一个正整数且不是一个完全平方，如果方程

x2-Dy2=-1 （**）

有解，且设a2-Db2=-1，a>0，b>0是所有x>0，y>0的解中使x+y 最小的那组解（a，b叫作（**）式的基本解），则（**）式的全部解（有无穷多组）x，y，由x+y =±（a+b ）2n+1表出，其中n是任意整数，且ε=x0+y0 =（a+b ）2其中x0，y0是x2-Dy2=1的基本解。

4.找出平方三角数的一般方法

设三角形数的第n个为 ，正方形数的第m个为m2，若正整数m，n满足

m2= （1）

则这样的 或m2为平方三角数（如这道高考题中的1225，实际上这样的数有无数个），（m，n）为满足条件的有序数对（如最小的一对（1，1）再如这道高考题中的（35，49））。

像这样的有序数对我们可以这样找出：

将（1）式化简变形得到[3]（2n+1）2-8n2=1 （2）

令X=2n+1 Y=2m （3）

n= m= （4）

则（2）式可化为

X2-2Y2=1 （5）

（X- Y）（X+ Y）=1

（X- Y）k（X+ Y）k=1k （6）

将已知的两个数对（m，n）=（1，1）代入（3）式可求出（X，Y）=（3，2）

（3-2 ）k（3+2 ）k=1k （7）

其实（5）式就是一个Pell方程，类似（*）式，考虑到我们讨论的平方三角形数都是正整数，我们将定理1中的解集变形如下式

X+Y =（3+2 ）k，k∈N+

在（7）式中

当k=1时X+Y =（3+2 ）1，（m，n）=（1，1）平方三角数为1。

当k=2时X+Y =（3+2 ）2=（17+12 ），（m，n）=（6，8）平方三角数为36。

当k=3时X+Y =（3+2 ）3=（99+70 ），（m，n）=（35，49）平方三角数为1225。

当k=4时X+Y =（3+2 ）4=（577+408 ），（m，n）=（204，288）时平方三角数为41616。

……

5.找出平方六角形数的一般方法

类似的我们也可以找出平方六角形数：

设六角形数的第n个为2n2-n，正方形数的第m个为m2，若正整数m，n满足

m2=2n2-n （8）

则这样的2n2-n或m2为平方六角数，（m，n）为满足条件的有序数对（如最小的一对（1，1））。像这样的有序数对我们同样可以这样找出：

将（8）式化简变形得到n（2n-1）=2m2 （9）

令X= Y= （10）

n=X2 m=XY （11）

则（10）式可化为

2X2-Y2=1

Y2-2X2=-1 （12）

（Y- X）（Y+ X）=-1

（Y- X）2t+1（Y+ X）2t+1=（-1）2t+1 （13）

将已知的两个数对（m，n）=（1，1）代入（10）式可求出（X，Y）=（1，1）

（1- ）2t+1（1+ ）2t+1=12t+1 （14）

其实（12）式也是一个Pell方程，类似（**）式，考虑到我们讨论的平方六角形数都是正整数，则我们将定理2中的解集变形如下式

Y+X =（1+ ）2t+1，t∈N

当t=0时Y+X =（1+ ）1= +1， （m，n）=（1，1）平方六角数为1。

当t=1时Y+X =（1+ ）3=5 +7， （m，n）=（35，25）平方六角数为1225。

当t=2时Y+X =（1+ ）5=29 +41， （m，n）=（1189，841）平方六角数为1413721。

……

从以上找出的平方三角形数、平方六角形数中可以发现：1225在这里真是一个奇特的数，1225= =2×252-25=352它既是三角形数又是六角形数，还是正方形数。

参考文献：

[1]王绚，由两道涉及多边形数的高考题引发的探讨[J].数学通讯，2014，02

[2]柯召，孙琦.谈谈不定方程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.03

[3]谭彬.关于平方三角数及相关定理的证明[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2009，04