Dini定理的推广

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（云南大学数学系 云南 昆明 650031）

摘 要：对Dini定理进行了推广， 得到了有界闭区间上函数序列一致收敛的充分必要条件。

关键词：Dini定理； 函数列； 单调； 一致收敛

1.预备知识

Dini定理在函数列的收敛性的证明与应用中有着重要的意义，本文将给出Dini定理的两个推广， 并给出相应的证明。 在本节中我们将给出本文应用到的定义与引理。

定义1[1] 设函数列fn与函数f定义在同一数集D上， 若对任给的正数， 总存在某一正整数N， 使得当n>N时， 对一切的x∈D， 都有

fn（x）-f（x）<ε，

则称函数列fn在D上一致收敛于f， 记作

fn（x）f（x）（n→∞），x∈D。

引理2[2] 设存在R>0， 对任意y∈Y，f（x，y）均关于x在R，+∞内递增（或递减），则当x→+∞时， f（x，y）关于y在点集Y上一致收敛于φy的充要条件是fn，y在Y上一致收敛于φy。

引理3[3] （Dini定理）设连续函数序列fnx在有限区间a，b上逐点收敛于连续函数fx， 且对任何x∈a，b， 数列fnx都是单调数列， 则fnx 于a，b上一致收敛于fx。

引理4 [4] 设a，bR是一有界闭区间， n∈N，fn：a，b"→R是连续函数， 且满足下述条件：

（1） n∈N，fnx在a，b上是单调的；

（2） 函数序列fn在a，b上逐点收于连续函数f：a，b|→R，

那么， 函数序列fnx在a，b上一致收敛于fx。

2.主要结果

Dini定理适合于判断单调函数序列的一致收敛性， 对于不具有单调性的函数序列其一致收敛性的讨论有如下定理。

定理5 设函数序列fnx在数集D上点态收敛于fx， 则fnx在D上一致收敛的充分必要条件是， 对任意数列xnD，

limn→∞fnxn-fxn=0

成立。

证明 先证必要性。 设fnx在D上一致收敛于fx， 则

limn→∞supx∈Dfnx-fx=0，

于是， 对任意的数列xnD有

0≤fnxn-fxn≤supx∈Dfnx-fx→0n→∞。

所以， limn→∞fnxn-fxn=0。

再证充分性， 假设fnx在D上不一致收敛于fx， 则按定义有，ε0>0， N>0， n>N， x∈D， 使得

fnx-fx≥ε0。

于是， 下述步骤可依次进行：

取N1=1， n1>1， xn1∈D： fn1xn1-fxn1≥ε0；

取N2=n1， n2>n1， xn2∈D： fn2xn2-fxn2≥ε0；

……

取Nk=nk-1， nk>nk-1， xnk∈D：fnkxnk-fxnk≥ε0；

……

对于m∈N+＼n1，n2，…，nk，…， 可任取xm∈a，b， 这样就得到数列xnD， 由于它的子列xnk使得fnkxnk-fxnk≥ε0。

与条件 limn→∞fnxn-fxn=0矛盾。 证毕。

推论6 设函数序列fnx在有界闭区间a，b上点态收敛于fx， 则fnx在a，b上一致收敛的充要条件是： 对任意的收敛数列xna，b，

limn→∞fnxn-fxn=0

成立。

从引理3和引理4中可以看到对fnx无论是固定x关于n单调， 还是固定n关于x单调都可以由连续函数序列逐点收敛于连续函数而得其一致收敛。 事实上， 若把fnx写成fn，x， 则更清楚地看到n与x具有一定的等价性。 因此，可以设想对于二元函数fx，y也应该有类似于Dini定理的结论。

定理7设当x→+∞时， fx，y关于y在a，b上收敛于φy， 且φy在a，b上连续， 又存在R>0， 当x>R时， fx，y均关于y在a，b上连续， 而当a≤y≤b时， fx，y均关于x在R，+∞内单调递增（或递减）， 则当x→+∞时， fx，y关于y在a，b上一致收敛于φy。

证明 取N=R， 则当n>N时， 恒有n>R成立。 于是， 由已知， 当n>N时， fn，y均关于y在a，b上连续， 且对任意的y∈a，b都有

fn，y≤fn+1，y（或fn，y≥fn+1，y）。

再由已知及Heine定理有，fn，y在a，b上收敛于φy。 又φy在a，b上连续，依引理3知fn，y在a，b上一致收敛于φy， 又由已知， 当a≤y≤b时， fx，y均关于x在R，+∞递增（或递减）， 依引理2， 当x→+∞时， fx，y关于y在a，b上一致收敛于φy。 证毕。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析：下册[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

[2] 吕通庆. 一致连续与一致收敛[M]. 北京：人民教育出版社， 1982.

[3] 李成章， 黄玉民. 数学分析：上册[M]. 北京：科学出版社， 2002.

[4] 邹应. 关于Dini定理[J]. 工科数学， 2000， 16（2）：108.