浅谈圆周长、面积的证明

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【摘要】本文介紹刘徽“割圆术”原理和重要极限在圆周长、面积公式证明中的应用，并就小学阶段教学圆的周长公式和面积公式提出积极的建议.

【关键词】割圆术；正多边形逼近；极限

在小学算术书中，都知道半径为r的圆的周长为C=2πr，面积为S=πr2，其中π是圆周率，是常数.那么圆的周长公式和面积公式是怎样得到的呢？对此，笔者曾作过调查，发现大多数学生不知道，甚至很多数学教师也不以为然.小学教师以学生听不懂为由，课堂上略讲或不讲；中学教师以为那是小学教师的事.所以，关于圆的周长公式和面积公式的教学成为我们教学中的一个薄弱环节，长此以往对学生的发展极为不利.

其实，我国古代数学家刘徽早于魏景四年（公元263年）创立了“割圆术”，它就是借助圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长[1].这里我们继续延用“割圆术”的思想原理和通过对极限的计算来证明圆的周长、面积，以期使证明更加简洁明了.

一、圆的周长

如图1，首先，作⊙O的内接正三边形A1A9A5其次，平分A1A9，A9A5，A1A5所对的弧A1A9，A9A5，A1A5的中心分别为A11，A7，A3，依次连接A1A11，A11A9，…，A3A1就得⊙O的内接正六边形A1A11A9A7A5A3，以下用同样的方法，继续作⊙O的内接正十二边形，⊙O内接正二十四边，等等.如此继续下去就可以作⊙O的内接正3·2n-1边形（n=1，2，3，…），无论正多边形的边数怎样多，每个圆内接正多边形每边所对的弧所对的圆心角都是已知的.于是，得到一串圆的内接正多边形的每边所对的弧所对的圆心角数列：θ3，θ6，θ12，…，θ3·2n-1，…；其中通项θ3·2n-1表示第n次作出的圆内接正3·2n-1边形的边所对的弧所对的圆心角.那么这串圆内接正多边形的边数与该圆内接正多边形每边所对的弧所对的圆心角关系列表如下：

下面证明圆的周长公式：c=2πr.

如图1所示，已知⊙O的半径为r，在⊙O的内接正三边形A1A9A5中，和△A1OA5中∠A1OA5=2π〖〗3，由余弦定理得

二、圆的面积

刘徽说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆全体而无所失矣.”很明显，当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一串圆的内接正多边形将无限趋近于该圆周，即它的极限位置就是该圆周[1].因此，圆的面积，也是由圆内接多边形的面积无限逼近，即这一系列圆的内接正多边形的面积的极限位置就是该圆的面积.

圆的面积公式S=πr2证明如下：

同理，可证圆内接正3·2n-1的面积

从而有圆的面积

以上通过对圆的周长、面积公式的证明过程探究，不仅使初学者认识圆的周长、面积公式，更能让他们了解公式的来龙去脉，很好地把握数学的思想，为以后进一步学习好数学打下良好的思想基础.

显然，学生在小学阶段学习圆的周长、面积公式时，大可不必如前述之证明.因为这个阶段的学生以具体思维为主，此阶段的教学要在圆周率π上下功夫，即为学生设计π这个无理数的发现的研究性学习方案，让学生探索总结得到圆的周长与直径的关系，进而得到圆的周长公式.至于圆的面积公式，则可以将圆沿一条直径剪开如图2，然后，将两个半圆剪成相等的小扇形如图3（不要剪断圆周），然后，拉开插入另一个半圆如图4，再用近似计算方法求出圆的面积.这些方法虽不严密，更不能说是证明，但对小学阶段的学生却是适宜的.

总之，圆的周长公式和面积公式的教学不能只靠某一阶段的教学解决问题，要在数学的全程学习中分步实施.这也是笔者写这篇短文的初衷.

【参考文献】

[1]刘玉琏，著.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]华东师范大学，编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.