浅谈实数集的完备性

摘 要 实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性。本文用不同的方式分别证明了实数集基本定理的等价性，以及其与数域有关。这是是对实数集完备性基本定理等价性的系统的论述，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解。

关键词 实数集 完备性 基本定理 数域

中图分类号：O143 文献标识码：A

1基本概念

实数集完备性基本定理：确界定理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、紧致性定理。 这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质：实数集关于极限运算是封闭的，即实数的连续性。它们之间相互等价，均可作为公理。以上的定理表述如下：

确界定理：在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。

单调有界原理：若数列单调上升有上界，则必有极限。

区间套定理：设是一个区间套，则必存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即。

有限覆盖定理：实数闭区间[a，b]的任一覆盖E，必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：

，，当，时，有。

2六大基本定理等价性证明

首先列出证明过程的基本框架：

确界原理单调有界定理区间套定理

柯西收敛准则 聚点定理 有限覆盖定理

文[1]给出了确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理，以及柯西收敛准则确界原理的证明。本文补充课本上有限覆盖定理聚点定理柯西收敛准的证明，完成整个循环证明的过程。

2.1由有限覆盖定理证明聚点定理

证明：设A 为有界无限点集 。那么存在正数M>0 ，使得 。

假设中任意点都不是A 的聚点，则对任意一点， 必存在相应的>0 使得在中至多有A 的有限個点。记，则H 为A 的一个开覆盖 。

由有限覆盖定理，在H中可以找到有限个开区间覆盖。记为，从而更能覆盖A 。

因内至多含有A 中有限个点，从而A为有限点集，与假设“ A 是有界无限点集”矛盾。故区间中至少有一个集合A的聚点，即集A至少有一个聚点。

2.2由聚点定理证明柯西收敛准则

证明：先证条件的必要性：设，则对任意给定的>0，有一正整数N当k>N时，有。从而当m，n>N 时，有。

其次，证明条件的充分性：设数列满足条件：对任给正数，总存在某一个自然数N，使得当m、n>N 时，都有 。

取，则存在自然数，当n>时，有 ，从而 ，

令，则对一切， 有，即有界。

下证有收敛子列 。

若是有限集，则必有一常子列；若E 为无限集，则由聚点定理，E有一个聚点 A。由聚点定义可证，存在，使。总之， 有收敛子列 。设，则对任给正数，存在N，当k， m， n>N时，有 ， 。

所以当 n>N（任取 k>N，使 ）时，有

。

故。

3实数集完备性基本定理等价性与数域有关

确界定理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、紧致性定理，这六个定理在实数系中这六个命题是相互等价的，在有理数系中这六个命题不成立，下面给出反例。

反例1：（确界原理），

即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。

反例2：（单调有界定理） {（1+）n}是单调有界有理数列。

即数列的单调有界定理在有理数域不成立。

反例3：（区间套定理）取单调递增有理数列{an}使an→，

取单调递减有理数列{bn}，使bn→，

则有理数域内构成闭区 间套 [an，bn]Q，

其在实数系内唯一的公共点为Q

所以区间套定理在有理数系不成立。

反例4：（有限覆盖定理）

设[1，2]Q表示[1，2]中所有有理数的集合，

x∈[1，2]Q， 有理数rx，使（xrx，x+rx）

令H={（xrx，x+rx）|x∈[1，2]Q}则H是[1，2]Q的一个开覆盖，则在r与之间所有有理数都在上述n个区间之外。

即H的任意有限覆盖都不能覆盖[1，2]Q。

反例5：（致密性定理）设数列其极限为无理数e，从而任一子列均收敛于e。

故有理数域内没有收敛的子列。

反例6：（柯西收敛准则） 满足Cauchy条件的有理数列，但其极限是无理数e。

4定理作为工具运用的特点

确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确界之后的数不可能具备该性质。

区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间……。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。

紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。

有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。

柯西收敛定理：完全数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。

5等价性证明过程中发现的结论

（1）从用有限覆盖定理证明紧致性定理和用确界定理证明紧致性定理中，我们都证明了一个结论：有界数列必有子数列。而我们发现，其实这是一个充分必要条件。将其推广到数集上，我们正是得到数集聚点的两个等价定义。

用类似证紧致性定理的方法也可证的聚点定理。即

聚点定理：直线上的有界无限点集S至少有一个紧致性。

证明：∵ S有界，∴ M>0，使S [-M，M]，再二等分此区间，则必有一区间包含S的无限多个点，记该区间…… 如此继续下去，我们得到一区间套，每个区间内含有S 的无限多个点。

由区间套定理，得 唯一的c，使两个区间断点的极限相等，且为c。

∵ 每个小区间内含有S 的无限多个点。

∴ C是S的一个紧致性。定理证完。

可见，紧致性定理是聚点定理的推论。

（2）由单调有界定理证明紧致性定理的第二种证法，我们可以得出结论：任何数列都有单调子数列。有界数列已证。而无界数列也有单调子数列。

这个结论虽然与实数系无关，但将它用于有界数列，再利用单调有界定理，就可以得到紧致性定理。

6结语

正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维，交流了数学思想，导致了我们的发现。我想，随着对数学的深入学习，数学呈现给我们的是一个更加精彩的世界，其中的发现更是无穷无尽的。

参看文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].上海：高等教育出版社，2010.

[2] 欧阳广中，姚允龙，周渊.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2003.

[3] 王向东，高成修，安枫灵.数学分析的概念与方法[M].上海：上海科学技术文献出版社，1988.