待定型极限的求法

【摘要】文章首先介绍了待定型极限的基本概念及基本类型，在此基础上，探索求解待定型极限的方法，从重要极限、迫敛定理、等价无穷小替换、广义微分中值定理、泰勒公式等八个方面总结了待定型极限的求解方法并展开研讨，进而归纳出各方法的运用原则和条件，并相应辅以实例说明，最后分析比较各种方法技巧的局限性与可行范围，从而给出遇到具体问题时各方法的优先考虑次序。论文可在学生学习该部分内容起到辅助作用，并帮助学生在掌握经典理论的同时，能够灵活地运用该八方面的技巧到具体问题当中，有利于学生学习和掌握有关解题技巧，提高学习效率。

【关键词】待定型极限;洛必达法则;重要极限;迫敛定理;等价无穷小替换;广义微分中值定理;泰勒公式

0.引言

数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。

极限在实际中有很广泛的应用,因此在学习了极限理论之后掌握求极限的方法便显得十分重要。在学习过程中能采用多种多样的方法准确有效地求解极限是学好数学分析的关键,同时也为学习后续课程打下坚实的基础。

1.待定型极限定义、基本类型及关于其求解方法的研究思考

1.1 待定型极限的定义

两个无穷小量之比的极限或两个无穷大量之比的极限,有的存在,有的不存在:即使存在,不同的极限其值一般也不相等。也就是说,我们不能对这样的比的极限的状态作出一般的结论,只有在具体情况下才能确定其结果。因此,我们称这类极限为待定型或不定式、未定式。

1.2待定型极限的基本类型

在求极限的诸多问题中, 待定型极限既是一个重点,也是一个难点。就待定型极限的类型而言,其类型较多,归纳为七种:型;型; ∞－∞型; 0•∞型; 1型;∞型和0型。其中以型和型为基本类型,其它类型可通过变形转化为这两种基本类型。

1.3求解方法的研究思考

就处理待定型极限的方法而言,不存在一劳永逸的方法,往往需要多种技巧相结合。洛必达法则虽然是解决待定型的一个行之有效的办法,但在学习实践中发现洛必达法则并不是万能的,也不是最简捷的,仍存在局限性。首先,洛必达法则是一个充分条件,如果出现求导数之后分母为零的情况, 洛必达法则就失效了。其次,虽然满足洛必达法则使用条件,求导运算之后若发现极限不存在,但此时并不代表原来极限不存在,例如,对其使用洛必达法则后其极限不存在,但实际上此极限为0。再次,使用洛必达法则出现无法判定的情况,形如的待定型极限,求导之后分子分母循环出现,仍无法求极限,对于该待定型,我们可以直接对表达式的分子分母同时除以得到极限是1。选择哪一种方法,能快捷、准确地求出函数的极限对于学习者来说就显得十分重要。

那么如何巧妙的求解待定型极限就成为需要解决的主要问题，为了简捷准确地求解待定型极限,处理好待定型极限,应将洛必达法则的使用与其他方法相结合。

2.待定型极限的求解方法

2.1具体研究思考结果总结归纳如下

方法一:分子、分母分别提取变量的最高次幂

当待定型的分子分母均为多项式,且待定型为x→∞型时;若分子次数高于分母次数,则待定型的极限为∞；若分子次数低于分母次数,则待定型的极限为0,若分子次数等于分母次数,则待定型的极限为分子的最高次项系数与分母的最高次项系数之比。

例1：设f(x)=,a≠0,b≠0试求f(x)

解：分子、分母分别提取x，x得：

f(x)=

==,n=m0, n>m∞,n

方法二:分子、分母同乘以分子或分母的有理化因式

分子、分母同乘以分子或分母的有理化因式 ,然后通过约分消去分子分母的相同无穷小量,从而最后求出待定型的极限。

例2：求(a>0)

解： =

===

例3：求 ,(a>0)

解： =

===

方法三:利用重要极限

利用 =1（1+)=e以及类似形式的极限。把类似形式的极限通过换元或重新组合转化成=1（1+)=e形式的极限的积,从而求得所求待定型极限。

例4：求

解：=()x=0

方法四:利用迫敛定理求极限

如果直接难于求出待定型极限,这时可考虑把待定型适当放大和缩小,若放大、缩小后的两个函数极限容易求出,并且相同,则由迫敛性定理问题得到解决。

例5：求

解：由于x-1?燮[x]?燮x

故当x>0时，1-?燮?燮1，而(1-)=1，故由迫敛性得=1；

当x<0时，1?燮<1-，而(1-)=1，故由迫敛性得=1；

综上，我们求得=1

方法五:等价无穷小量（无穷大量）代换法

当一个待定型可分解为几个因式的积、商时,可考虑用某些因式的等价无穷小或等价无穷大量代替这些因式,从而简化求解过程。利用无穷小的等价代换求极限是一种非常有效而简便的方法。这种方法是将比较复杂的函数( 如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数等) 代换为幂函数,从而达到简化计算的目的。常用的无穷小等价代换有:x→0时，sinx~x;tanx~x;arcsinx~x;e-1~x;arctanx~x;ln(1-x)~x;1-cosx~x;-1~等。

应当注意的是在进行乘除运算时可以放心使用等价代换,在加减运算中尽量不要使用, 因为这样可能会使无穷小的阶发生改变而导致错误。例如:

= ==

这里若以x来替代分子中的sinx,则有 = =0,这是错误的。

例6：求

解：由于arctanx~x,(x→0），sin4x~4x,(x→0）故

==

方法六:利用洛必达法则

运用洛必达法则前,首先要检验极限式的类型,若是型或型,可考虑使用洛必达法则;若不是,则考虑是否需要转化成为型或型、能否转化为这两种类型。注意洛必达法则可多次使用。当分子、分母分别求导后,比式不存在时,洛必达法则失效。应该使用别的方法求极限。

例7：求

解：因ln cos(x-1)=0；（1-sinx）=0

所以此极限为型，由洛必达法则，有

==•

==-

方法七：运用广义微分中值定理求解待定型

经典的微分中值定理建立了函数关系和导数之间的关系,根据这个原理,研究得到广义下的微分中值定理,并将其应用到待定型极限的求解中。

（拉格朗日中值定理）设?渍(x)，?渍(x)均在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.?坌x∈(a,b)设c=min[min?渍(x),min?渍(x)],d=max[max?渍(x),max?渍(x)],如果f(u)在[c,d]上连续,在(c,d)内可导,且对任意的x∈(a,b),有?渍(x)≠?渍(x),则至少存在介于?渍(x)与?渍(x)之间的一点(x),使得f"((x))=成立。

(柯西中值定理)设u=?渍(x),u=?渍(x)均在[a,b]上连续，在[a,b]内可导.?坌x∈(a,b)设c=min[min?渍(x),min?渍(x)],d=max[max?渍(x),max?渍(x)],如果f(u)，g(u)在[c,d]上连续，在(c,d)内可导，且g(u)在(c,d)内每一点均不为零，则：对?坌x∈(a,b)至少存在一介于?渍(x)与?渍(x)之间的一点(x),使=成立。

例8:计算,其中arshx=ln(x+)

解：(1)用洛必达法则计算

原式=

==

==

=2=1

（2）用拉格朗日中值定理计算

原式=1+=1,(?孜(x)介于shx与sinx之间）

方法八:利用泰勒公式求待定型的极限

求待定型的极限利用洛必达法则是很有效的，但是对某些待定型的极限并不方便，甚至不能求出，此时可利用带余项的泰勒展开式加以解决，利用洛必达法则求待定型的极限时，其结果是化成某阶导数的比，而泰勒公式的各项系数正分别含着各阶导数的值，洛必达法则所肯定的结论可以在特殊条件下，用泰勒展开式推导出来。所以可利用已知函数的泰勒公式求待定型的极限。

（1）利用泰勒公式求待定型极限时，常用到的展开式：

1) e=1+x+++L++o(x)

2) sinx=x-++L+(-1)+o(x)

3) cosx=1-++L+(-1)+o(x)

4) ln(1+x)=x-+L+(-1)+o(x)

5) (1+x)=1+ax+x+L+x+o(x)

6) =1+x+x+L+x+o(x)

上述展开式中的符号o(x)表示当x→0时，它是一个较x高阶的无穷小，亦即是：=0 根据这个定义容易验证：当x→0时有：

1) o(x)+o(x)=o(x),(n>0)

2) o(x)±o(x)=o(x),(m>n>0)

3) o(x)•o(x)=o(x),(m,n>0)

4) x•o(x)=o(x),(m,n>0)

5) C•o(x)=o(x),(C≠0,n>0)

（2）利用泰勒公式求待定型极限

在函数极限运算中,待定型极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算待定型极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些待定型极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单,明了。利用等价无穷小的代换实质上只是利用了函数在x=0处的泰勒展开式( 即麦克劳林公式) 的一阶性质,如e-1,x是利用e-1=x+o(x), 更精细的极限则需利用泰勒公式。而利用洛必达法则实质是使分子、分母的无穷小的阶数同时降低一阶,如果分子、分母都是较高阶的无穷小时,必须多次运用洛必达法则,这样往往十分繁琐。用泰勒公式可以一步到位,立即找出分子、分母的无穷小的阶数,因而更加便捷。

具体方法：先求出待定型的分子、分母的各个部分在x（假定是待定型极限 ）点的泰勒公式,(利用常用函数(例如e、sinx、cosx、(1+x))在零点展开的泰勒公式(即麦克劳林公式),以及无穷小量之间的运算求解待定型极限)根据需要取适当的值分别整理出分子、分母的泰勒公式,再求出分式的泰勒公式,最后求得待定型的极限。下面我们就例题进行探讨。

例9：求

解:因为分母为x，故分子的泰勒公式中取n=3,则e=1+x+++o(x),sinx=x-+o(x),将此代入待定型极限，则得：

=

= = =

由于洛必达法则的实质是同时使分子分母的无穷小的阶数降低一阶,遇到分子分母阶数都是较高的无穷小的话,必须进行多次洛必达法则,遇到分子分母含有带根号项时,会越微分形势越繁琐。而用泰勒公式,则可一步到位。所以在求解待定型极限时,应该灵活使用泰勒公式法解决。从而避免应用洛必达法则出现的解题困难。

2.2几种方法的比较

对于给定的待定型极限,究竟使用哪种方法求极限,要看待定型的类型,若能用方法一、二、三解决问题,优先使用这三种方法。其次考虑洛必达法则,若分子或分母不可导,则考虑迫敛定理;若分子、分母都可导但需多次使用洛必达法则,且求导过程较繁时,可考虑使用泰勒公式法;若分子分母较繁,且是积的形式时,可考虑使用无穷小量或无穷大量代换法；对于一些复杂的待定型极限，广义微分中值定理提供了一种新的思想和方法。

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