关于复变函数论教学的几点探讨

【摘 要】本文结合近几年来复变函数论课程中的教学实践，针对教师只重视讲授教学内容而忽视培养学生各方面能力的现象，就更新教学思想、转变教学观念、改革教学方法等方面进行了深入的探讨。

【关键词】教学改革 教学方法 数学思想

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）25-0087-01

作为本科数学专业的重要基础课之一，复变函数论在整个课程体系中起着承上启下的重要作用。该课程以数学分析为基础，重点讨论了解析函数的积分理论。通过这门课的学习，学生能够对泛函分析等课程的学习打下良好的基础。针对教师只重视讲授教学内容而忽视培养学生各方面能力的现象，笔者提出以下几点建议。

一 注重培养学生发现问题和解决问题的能力

在重要定理的证明过程中突出探索问题和研究问题的思路，特别强调证明过程中蕴含的数学思想。引导学生提出问题并解决问题，提高学生对定理内容的理解。例如：在Cauchy积分定理的证明过程中，为什么有些地方用到了函数的解析性，而有的地方仅仅用到了函数的连续性？怎样用严格的数学语言描述折线逼近曲线的过程？在此过程中，让学生深刻体会由特殊到一般、折线逼近曲线等朴素的数学思想，提高学生的逻辑思维能力。另外，定理的证明过程再现了数学大师们思考问题的方式，学生可通过学习定理窥视到他们是如何探索真理的，从而激发学习的积极性。尽量避免老师在黑板上推导、学生做笔记的现象发生，让学生在提出问题、思考问题、解决问题的过程中感受定理的证明思路。

二 在比较过程中学习新知识

复变函数课程中的内容有很多都和数学分析中的教学内容相似。教师可以在教学过程中引导学生多做比较，得出两门课程相关知识的区别和联系。如引导学生思考复变函数的导数与一元函数、二元函数的导数有什么联系？实数项级数的敛散性判别法是否适用于复数项级数？对于复函数项级数中的幂级数，它的性质、收敛半径求法是否和实函数项级数中的幂函数保持一致？非零的解析函数的零点孤立性定理是否对可导的实函数成立？在用留数定理计算特殊的实积分时，回顾数学分析课程中的方法，比较两种办法的优缺点，让学生切身感受到留数定理的威力。在教学活动中注重学生的主体意识，寻找类似于上面提到的切入点，通过指出本课程与数学分析课程的区别和联系，使学生懂得该课程的重要性，同时激发学生的学习积极性。总之，让学生在比较的过程中既可以温习旧知识，又可以学到新知识。

虽然复变函数是数学分析的后续课程，但复变函数不仅仅是数学分析的延拓，它还有许多和数学分析不同的概念与方法。如多值函数、Laurent级数与孤立奇点、留数理论与共形映射等。在复变函数中学习的知识和数学分析中学习的知识侧重点也不一样，如微分与导数，数学分析主要讲微分的概念、意义和计算，而在复变函数中只是简单介绍了微分与导数的概念、性质及计算，重点研究的是解析函数。复变函数概念多，性质定理也很多，在教学过程中，既要抓好基础，又要突出重点，更要通过总结、复习等教学环节，顺着知识的逻辑结构，理清知识脉络，这样才能让学生系统地掌握复变函数的理论和方法。

三 注重培养学生的构造能力

构造映射或函数是数学当中较难的问题，所以提高学生这方面的水平是教师需要考虑的一个课题。复变函数中某些定理的证明和第七章共形映射中涉及这个话题。通过详细的讲解并结合数形结合的思想，给学生在这方面有一个完整地呈现。如解析函数唯一性定理的证明过程中需要构造一连串的圆盘。另外，在共形映射这一章，构造符合条件的共形映射是主要目标。在介绍分式线性变换、分式线性变换和幂函数的复合以及分式线性变换和指数函数复合的教学内容时，通过画图和讲解，让学生学会构造简单的共形映射。通过对这类问题的学习，培养学生的构造能力。

四 提高学生的归纳、总结能力

通过十几年的学习积累，学生都有了一定的归纳总结能力。在复变函数论的教学过程中，教师可以引导学生思考解析函数的充要条件有哪些？计算复积分的方法有几种？在解决这类问题的过程中促使学生对这门课有一个整体的把握，而不再是零散的知识点。

总之，为了让学生能够从复变函数论课程中得到更多的收获，教师一定要注重学生各方面能力的培养，改进教学方法，更新教学观念和思想，教学效果必能得到明显的提升。

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[2]黎延海.《复变函数》课程的教学改革与实践[J].科技创新导报，2010（35）

[3]罗世尧.复变函数课程的有效教学策略探究[J].考试周刊，2014（6）

〔责任编辑：庞远燕〕