Matlab在数学分析中的教学研究

摘要：Matlab在数学分析中的计算方面有突出的表现，本文主要介绍了如何使用MATLAB语言的符号运算工具箱来求解曲线积分和曲面积分.这样的话，它可以使得学生对数学积分的计算变得不那么头疼，并且也可以运用图形绘制来理解较难的问题，使得学生更爱学数学分析。

关键词：matlab；曲线积分；曲面积分；图形绘制

《数学分析》是对于学生来说是一门必修的专业课。对于该课程的定积分应用这一部分的学习，特别是对于重积分的学习，是让学生感到很头疼的一件事。而matlab工具就具有强大的运算功能，只要输入命令就能很方便快速解答。下面我分别从曲线积分、二重和三重曲面积分的求解三个方面说明这个方法：

一、 曲线积分及MATLAB求解

曲线积分

若设f（x，y，z）在空间曲线L上的函数，则它的总质量为：I=∫Lf（x，y，z）ds，该式子即为第一类曲线积分。其中，对于s则表示曲线上某点的弧长，则题意为对s进行积分。

【例1】计算由m=kcos5u，n=ksin5u（k>0）所圍成图形的面积。

解：matlab编程如下（运用A=12∮Lxdy-ydx公式计算面积）

syms h j k u dh djj=k*sin（u）.^5；h=k*cos（u）.^5；

dh=diff（h）；dj=diff（j）；int（1/2*（h*dj-j*dh），u，0，2*pi）；结果应为A=15k2π128。

二、 曲面积分与MATLAB求解

（一） 曲面积分

曲面积分为I=Sφ（x，y，z）dS。其中，dS为小区域的面积，故这类积分又称为对某区域的曲面积分。若S由z=f（x，y）给出，则该积分可变成对区域积分或为面xy上的二重积分I=σxyφ[x，y，f（x，y）]1+f2x+f2ydxdy，这里σxy为积分区域。

【例2】求S（u2+v2）dS，其中S是由l=1和2u2+2v2+l=6所围成。

解：l=6-2u2-2v2，则fu=-3u，fv=-3v，1+（-3u）2+（-3v）2=1+3u2+3v2。

Matlab运行程序如下：Syms k h；l=6-2*k^2；

I=int（int（k^2*（1+3*diff（l，k）^2）.^（1/2），k，0，（3）^（1/2）），h，0，2*pi）

结果应为：I=（pi*（867*6960^（1/2）-3^（1/2）*log（145^（1/2）+12）））/2304。

【例3】计算曲面积分I=S（5kl+6lm+7mk）dkdl，其中S在椭球面（k-3）2a2+（l-2）2b2+（m-2）2c2=1的上半部分且取它的外侧。

解：利用参数方程k=3+asinucosυ，l=2+bsinusinυ，m=2+ccosu，且（0≤u≤π/2，0≤υ≤2π）。所以原来的曲面积分题目可以变成为一般双重积分来进行求解。

∫2π0∫π/20CRdudυ，其中R=5kl+6lm+7ml，C=kulυ-lυku。Matlab运行程序如下：

syms u v a b c；k=3+a*sin（u）*cos（v）；l=2+b*sin（u）*sin（v）；m=2+c*cos（u）；

C=diff（k，u）*diff（l，v）-diff（l，u）*diff（k，v）；R=5*k*l+6*l*m+7*m*k；

I=int（int（R*C，u，0，pi/2），v，0，2*pi）所求的结果应为：2abπ（11c+48）。

（二） 三重积分的计算

【例4】计算三重积分V（3k2+l2+5m）dkdldm，其中V是由曲面m=7（k2+l2）面和m=25围成。

解：Matlab程序运行如下：syms h s m；f=（3*h+5*m）*h；

I=int（int（int（f，m，h，（7*h^2）.^（1/2）），h，0，5），s，0，2*pi）

结果应为I=1875π（7+4）2。

三、 总结

通过上述的分析、编程与上机实验，我们发现数分积分的计算，不管是对于曲线或曲面若直接计算起来是相对比较麻烦，且需要消耗很多精力和较长的时间，所以我们把这类问题用matlab工具操作又快又准确且它的优越性就体现在：运用matlab执行的命令既简单又容易掌握，要用的人只要懂得输进为数不多的命令就可以达到他们想要的结果。并且用matlab强大的画图功能让我们更为直观地理解面积和体积的概念，也能让学生在快乐中学习。

作者简介：

周春叶，福建省晋江市，福建省晋江市内坑中学。