浅谈极限理论在数学分析中的地位及其应用

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摘 要：在高中数学学习过程中，我们会发现有很多题需要用极限求解，例如求数列极限，函数极限等。随着学习的不断深入，极限理论的思想几乎贯穿了整个数学理理论课的教学中。由此不难看出，极限思想不单单是高中数学的核心，极限理论也是進一步学习数学的基础。本文主要就极限理论在高中数学中的应用做浅要分析。

关键词：极限理论 数学分析 地位 应用

一、极限理论的地位

在我国古代，已经出现了极限的思想，例如古代哲学家庄周的著作《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万事不竭”假设我们每天截取这尺木棒的一半，就可得出以下一序列长度：

第一天截取，第二天截取的就是剩下的也即是，第三天便是这剩下的一半……，以此推出第n-1天截取的长度为，第n天为，每天这样截下去，就会得到以下这个数列：

，……，，……

即使n足够大，这根木棒也不可能被截完，但是随着，截取木棒的长度无限接近于0。

二、求极限的几种常用的方法

高中数学常见的求极限的方法有3种，极限的定义、四则运算法则、分子或分母有理化。随着学习知识的深入，后续还会有洛必达法则、恒等变换、等价无穷小变换、重要极限、泰勒展式等，本篇论文主要讲述了，高中常用的几种方法求解数学中的问题。

三、极限理论在数学分析中的应用

1.数列极限

（1）数列极限的定义

对于数列，当n足够大时趋向于一个固定常数a，即无限接近于0，那么就称数列的极限是a。（注意a不一定是中的项）

（2）数列极限

例：已知数列是有正数构成的数列，，且满足.其中n是大于1的整数，a是正数。

求数列的通项公式及前n项和。

求

解：（1）由题我们可以得出，

所以是为首项，公比为a的等比数列，则。

所以分为两种：1当a=1时，;

2当时，。

（2）

1当a=4时，原式;

2当a>4时，原式=

因为当

3当0<a<4时，原式=。

此类问题是高中考试常考的，求数列极限时要注意分类讨论。

2.函数极限

（1）函数极限的定义

假设一个函数，当自变量x的绝对值无限增大时，趋于一固定常数a，就是说的极限是a，记为

注意：只有当时才有

（2）函数极限在经济学中的应用

例：某人将一笔本金存入银行，年利率假设为，存款的期限是t年，按照本金连续利息计算得到t年后的钱为，如果每年计算n次利息，t年后利息和，我们不难看出，计算次数越多，利息和越大，当时，，随着n无限的增大，是单调增加的函数，那么发家致富就变得非常容易，但事实上并不是这样。

假设我们以本金2000000，利息6%，t=20年为例，到期的本息和约为6414270.96。这说明当存入的本金不是很大时，仅靠利息难以致富，而且我们要考虑到通货膨胀的因素，银行存款20年是否保值都还不能确定。

极限的思想在经济学中的应用的非常少，最大的原因是，极限在经济中，只能做定性的分析。

（3）恒等变换求函数极限

例如：求极限

解：

分子或分母有理化是中学数学求极限常用的一种方法。

结语

从上面的谈论中，我们已经对极限思想有了基本的了解，极限思想是解决问题必不可少的，对极限理论的合理运用，体现了学生对于问题的不同理解，同时，也体现了我们掌握的情况，对于选拔人才也及其重要。极限理论是数学分析中的核心，而数学分析又是整个数学领域学习的工具，这也就告诉我们，熟练掌握、合理运用极限思想的重要性。

参考文献

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[2]付松林.极限理论在数学分析中的作用及应用探究[J]，2013（2）：136-138.

[3]贾敬堂.浅析极限思想在经济生活中的应用[J]，2015（4）：39-42.