论数学分析与概率论的相互关系

摘 要：数学分析属于理论性的基础学科，数学分析思想与方法已经融入渗透到概率论中，并且促进概率论的发展。概率论应用数学分析可以将部分确定性的问题转化为随机性数学问题，提高了数学的解决能力。因此本文基于工作经验阐述数学分析与概率论之间的相互关系。具体的研究策略为首先分析数学分析对概率论的推动与渗透，其次在研究概率论在数学分析中的应用体现，最后在进行总结。

关键词：数学分析 概率率 关系

数学分析与概率论是数学的两个分支，其在数学体系中占据重要的地位。数学分析属于典型的确定性数学，概率论则代表随机性数学。虽然二者的研究方向不同，但是它们在数学领域内却存在必然的相互影响的关系。因此本文基于二者的相关关系进行详细分析，以此促进我国数学解决能力的发展进步。

一、数学分析对概率论的推动与渗透

在概率论发展的过程中，我们可以清晰的看到数学分析的影子。综合考虑数学分析对于概率论的渗透与推动主要体现在：

1.集合论和概率论公理化体系。具有某种形式或者结构的集合是数学研究的主要对象，因此我们说集合论是数学体系的基础，纵观集合论的发展历程，集合论是于19世纪从数学分析的发展中培养出来的，而勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，形成了概率论的公理化体系，因此在数学分析中集合论的出现对于概率论是具有渗透意义的。我们知道数学分析包括黎曼积分和勒贝格积分，它们具有不同的优势，黎曼积分能够很好的处理性质良好的函数，但是在面对级数、多元函数时却表现得比较困难。而勒贝格积分却能很好的处理黎曼积分所不能处理的问题，从而推动微积分进入到实变函数的阶段。可以说勒贝格积分的出现使得集合测度与事件概率的相似性显现出来。尤其是1933年，有著名数学家苏俄柯尔莫哥洛夫建立的概率论公理化体系统一了概率古典、几何定义争论不一的格局，其建立的公理体系具有独立性、完整性以及无矛盾的特点，从而退奠定了概率论的地位，并且通过集合论实现了与其他数学分支的联系性。

2.傅立叶变换与特征函数。数学分析的有效工具不仅包括是傅立叶级数，还包括傅立叶积分、 傅立叶变换等等，当然它们不仅在数学分析中发挥着重要的工具作用，而且随着数学分析在概率论中的渗透，这些数学分析的工具在概率论领域也呈现重要的作用，尤其是傅立叶变换在函数或者密度函数中的应用，产生了“特征函数”，这样对于处理独立随机量与随机变量序列具有積极的意义。例如通过上述分析，特征函数能够为解决极限分布提供有效的快捷的方法。

通过上述证明可以了解到正是因为将数学分析应用到概率论中才能使有效概率性的问题得到快速的解决。

3.雅可比行列式与随机变量函数的分布。显函数和隐函数是数学分析中经过会遇到的函数，相对于显函数而言隐函数的计算将更加困难，而且在数学分析中隐函数组的遇见率比较高。因此为了证实隐函数组的存在，雅可比（德国著名数学家）通过偏微分方程式对隐函数进行了研究与论证，形成了雅可比行列式，实践证明通过雅可比行列式可以很好的解决隐函数组问题。同样雅可比行列式在概率论中的应用也可以解决概率论中的多维随机变量中函数的概率分布问题。

二、概率论在数学分析中的应用体现

纵观概率论的发展历程，数学分析在其中起着关键性的渗透与推动作用，当然我们也不可否认在概率论发展的过程中，概率论的某些特征也提高了数学分析困难问题的解决效率。结合相关文献资料研究，概率论在数学分析中的应用表现为以下方面：

1.数学期望与不等式。在数学分析中不等式是其重要的内容，也是整个数学体系的基础知识，在数学分析中会经常遇到不等式问题，例如积分不等式、级数不等式等等。当然对于不等式数学分析领域具有很多种证明方法，但是在应用数学分析理论证明这些不等式时存在证明过程复杂的问题。但是如果应用概率论中的数学期望性质则可以快速的证明不等式问题。

2.中心极限定理在数学分析中的特殊作用。概率论的中心极限定理分为4大类，可以说中心极限定理为概率论与数学分析建立了相互联系的纽带，促进了概率论的发展。而数学分析的基础是极限，尤其是微积分中的系列概念与方法都与极限有着极为密切的联系，尤其是数学分析中的一些极限问题，如果按照常规的数学分析方法很难计算出来，但是使用概率论中的中心极限定理则可以快速的将极限问题解决掉，简化了计算方法。

3.随机变量函数与积分。相关理论研究证实数学分析与概率论中的随机变量函数之间存在必然的联系性，具体表现为：积分概念在数学分析中的产生是对于各种不规则面积、体积以及弧长等问题，通过“分割、近似求和”的求证过程中产生的。例如所有的对不规则面积的求证都化为“∑f （&i） （ xi-xi-1）的和式极限问题”。而连续性的随机变量函数在概率中中体现为：分布律、分布函数以及概率密度。其中分布律和分布函数属于求和关系，其表现形式为F（x）=P（ X ≤ x）。分布律与概率密度属于积分关系，P（ X ≤ x）={f（t）dt. 分布函数和概率密度是原函数与积分函数的关系，即 F"（x） = f（x）。当然上述关系的成立时建立在X为连续性随机变量的基础上。当然在数学分析中存在某些积分问题“积不出来的问题”，因此具体到实践中需要利用概率密度函数的理论对原积分进行转化，以此快速、准确的解出结果。

三、结语

综上所述，数学分析为概率论发展奠定了基础，而概率论的随机理论又渗透到数学分析中，数学分析与概率论之间存在相互促进的关系，是密不可分的。而且随着数学技术的不断发展，二者之间的相互影响、相互渗透领域必然会不断的扩展，对此解决数学问题的能力将越来越便捷。当然在分析具体问题的过程中还需要我们加强研究，以此更好的促进数学分析与概率论的发展，从而为切实解决问题难题而提供多元化的方法。

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作者简介：沈波（1971.01—）女。副教授。研究方向：数学分析、微分方程、数学教育。